Healitiit der imaginären Grössen. 



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1. der Wurzelexponent ungcrad, so genügt es, die Beziehung der Wurzel negativ — 

 also noeh immer direct — zu nehmen; weil die negativ bezogene Wurzel, nach dem unge- 

 raden Wurzelexponenten poten/.irt, wieder eine mit dem Radicand nicht nur in der Grösse, 

 sondern auch in der negativen Beziehung übereinstimmende Potenz gibt. 



2. Ist dagegen der Wurzelexponent gerad ; so genügt zwar keine directe Beziehung 

 mehr, weder die positive noch die negative (vergl. §. 20), aber doch immerhin eine ab- 

 weichende В e ziehung , und namentlich die so vielfach abgestufte negative, als der Wur- 

 zelexponent zahlt. 



Allein die Algebra mu.ss, wie wir in §. 23 und 27 dargethan haben, um ihren 

 Grundcharakter — Allgemeinheit — zu bewahren , in ihren allgemeinen Erforschungen der 

 Grossen, die Möglichkeit und das Vorhandensein von abweichenden Beziehungen als Regel 

 oder Norm wirklich unbedingt anerkennen, und kann bloss in besonderen Forschungen, 

 mithin als Ausnahme , den Niehtbestand abweichender Beziehungen zugestehen. Daher for- 

 dert in allgemeinen Forschungen der Algebra die Bestimmung der Beziehung einer Wurzel 

 geraden Ratiges aus negativ beziehlichen Zahlen durchaus nichts Unmögliches; oder die 

 Beziehung einer solchen Wurzel ist, als eine ab- oder ausweichende, weder unmöglich noch 

 eingebildet (einbildsam , imaginär), folglich eben sowohl wie jede der beiden directen Be- 

 ziehungen, die positive und negative, möglich, wirklich (reell.) 



Desswegen ist auch die Unterscheidung der algebraischen Grössen und Zahlen, oder 

 eigentlich ihrer Beziehungen, in mögliche und unmögliche, wirkliche und eingebildete, 

 reelle und imaginäre unhaltbar und muss darum hinfort für immer aufgegeben werden. 



§ 34. 



Schluss dieser Betrachtungen. 



Und somit haben wir denn nicht nur die bisherige Theorie der imaginären Grössen, 

 insbesondere der imaginären Wurzeln, schon von ihrer Grundlage aus, mit strengstens er- 

 härtetem Rechte, umgestossen; sondern auch dafür die richtige Lehre von dem Abweichen 

 der Beziehungen der Grössen überhaupt, und der Wurzeln geraden Ranges aus negativ be- 

 ziehlichen Zahlen insbesondere, aufgestellt: also nicht allein ein alles, unhaltbares Lehrge- 

 bäude vom Grunde aus zusammengestürzt, sondern auch dafür ein neues, haltbares, auf 

 festen Grundpfeilern aufgebaut; wie diess — wenn sonst möglich — von jeder auf Vervoll- 

 kommnung der Wissenschaften abzielenden Umwälzung bestehender irriger Lehren geleistet 

 werden soll. 



Schreiten wir nunmehr zur weiteren Auseinandersetzung und Anwendung dieser un- 

 serer neuen Lehre, wo die Ubereinstimmung unserer durchweg streng begründeten Ergeb- 

 nisse, sowohl mit ähnliehen — sogar schon von der irrigen Lehre auf dem Wege glück- 

 licher Indagation gefundenen — Ergebnissen , als auch mit der Stetigkeit des Abweichens 

 der Beziehungen, jeden etwa noch übrigen Zweifel heben wird. 



