Realität der imaginären Grössen. 



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dir directen Beziehungen zurückkommen 1 : so müssen auch die Ergebnisse aller Rechnungen 

 mit complexen , oder als solche darstellharen einlachen Grössen wieder complex oder als 

 complex darstellbar ausfallen. 



Insbesondere müssen folgende Lehrsätze hierüber gelten: 



Í. Die Addition und Subtracticn, überhaupt die Aggregaten gleichartiger complexer 

 Grössen gibt wieder eine complexe Grösse derselben Art als Summe, als Unterschied, ode,, 

 überhaupt als Aggregat. 



Denn die Glieder der zu aggregirenden complexen Grössen gehen in das Aggregat 

 nur entweder mit ihren oder mit entgegengesetzten, jedenfalls entweder directen oder trans- 

 versiven — nie aber mit anderen — Beziehungen ein. 



Z. В. («— 4,«)— {Ь+Щ— (— e-^|y) — a— ^a—b— iß+c+±y 



— (a_ b + c )—ya+ß— y ). 



2. Die Multiplication, einer complexen Grösse mit einer oder mehreren complexen 

 Zahlen muss wieder eine mit dem Multiplicand gleichartige Grösse zum Producte gehen. 



Denn die Faetoren der Tlieilpr jduete , also auch diese Theilproducte selbst, kön- 

 nen nie in anderen als gekreuzten Beziehungen vorkommen, mithin auch ihre algebraische 

 Summe, das Product. 



Z. B. («+;/>)(«+!/?) = aa-\-^ab+±aß—bß 

 — (aa—bß)+],(ab-\-aß). 



Daraus folgt aber sogleich weiter : 



3. Auch das Umgekehrte der Multiplication, die Division, einer complexen Grösse 

 durch eine complexe gibt eine complexe Grösse zum Quotienten ; und 



4. Auch die Wiederholung der Multiplication, die Pctenzirung, einer complexen 

 Zahl nach einem absoluten ganzen Exponenten liefert wieder eine complexe Zahl. 



Z. B. Setzt man den Quotienten 



: f«+|/9) = л'-Ыу 

 so soll sein ( a +4-ß) * (x-\-\y) — 



oder ax-\-^.ßx-\-^ay — ßy ~ a-\-\,b, 



foglich, vermöge § Ы, 5., nx — ßy ~ а , ßx-\-ny ~ b, 



Theilt man aber diese Bestimmungsgleichungen zuerst durch ß und a, dann durch 

 — « und ß*); so gibt ihre Summe 



/а ß\ ab f« , ß\ b а 



ab b a 



also 



*) Zu maltiplicireii wäre nur unter der Bedingung erlaubt, wenn a und ß Zahlen sind; nicht aber, wenn sie 

 mit a und b gleichartige Grössen sind. 



