238 



TVilhelm Matzka, 



entgegengesetzt, so gibt es unter den Beziehungen dieser Tlieilprnducte weder zwei gleiche 

 noch zwei entgegengesetzte. Ist aber x'zz%, so w ' r d wegen cp' — — q>, (p'y — — cp Xi a ' so 

 reducirt sich das obige Aggregat von Theilproducten auf x'luw -(- x' luji - Allein % und х а 

 können einander weder gleich noch entgegengesetzt sein , weil sonst die Beziehung 

 X direct oder transversiv sein miisste, was sie nicht ist. Ist endlich X — — "/.■> so w 'rd we- 

 gen ф' ZZZ — cp sowohl cfx ~ — щ als auch cp 'x — — ФХі daher reducirt sich jenes Aggregat 

 auf- — yx^vw — x^ w ""- Allein weil cp transversiv, / es aber nicht ist, so können щ u °d x 1 

 weder gleich noch entgegengesetzt ausfallen. — Jedenfalls müssen demnach wenigstens 

 zwei, keiner weiteren Zusammenziehimg fallige den Factor w enthaltende Producte, aus den 

 dreien, im, vw, w*, und darunter immer das letzte einzeln vermöge §. Ы, ö. verschwinden ; 

 folglich muss unumgänglich dieser Factor и> — 0 sein. Mithin verschwindet jedesmal das 

 zunächst auf die beiden Anfangsglieder и und v folgen sollende Glied; das heisst aber 

 auch, diesen zwei Gliedern // und v fulgt kein weiteres mehr. 



Fassen wir die Ergebnisse dieser Untersuchung zusammen, so erkennen wir die 

 Giltig к eit folgender Hauptlchrsätze : 



1. Das Grundgesetz und die innerste Natur des Potenzirens der Zahlen nach trans- 

 versiv beziehlichen Exponenten spricht sich durch die zwei unzertrennlichen Gleichun- 

 gen aus : 



(1) А«-)Яп — B _|_ \{—)fv, íí 2 + v* zz 1, (2) 



in deren ersteren das Glied v mit dem Exponenten n einerlei transversive Beziehung ((—))' 

 hat; d. h. 



Jede Potenz einer Zahl nach einem transversiv beziehlichen Exponenten gleicht einer 

 complexen Zahl, deren transversiv beziehliches Glied mit dem Exponenten einerlei Bezie- 

 hung bat, und in welcher die zweiten Potenzen ihrer Glieder sich zu I erganzen. 



2. Die erstere Gleichung zerfällt insbesondere, wegen des Doppelsinns der Bezie- 

 hung \\/ — , in die zwei zusammen genommen ihr glcichgcllenden Gleichungen : 



(3) IM = a-f I» 



3. Die aus dem Potentiand h und dem Exponenten n zu berechnenden beiden Glie- 

 der и und v der die Polenz darstellenden complexen Zahl müssen der Forderung genügen, 

 dass ihre zweiten Potenzen, welche nie anders als positiv beziehlich auslallen können, sich 

 zu 1 ergänzen. Nun lässt sich aber die Zahl 1 unbedingt in zwei positiv beziehliche Be- 

 standteile so Zerfällen, dass der eine beliebig zwischen 0 und l wählbar ist und etwa von 

 0 gegen l stetig ansteigt, bis er endlich nothwendig einmal der zweiten Potenz des einen 

 Gliedes, н, folglich der andere Bestandteil der zweiten Potenz des anderen Gliedes, v, gleich 

 wird. Mithin ist es unzweif elhaft , dass jegliche Pclenzirung nach transversiv beziehlichen Expo- 

 nenten, denkbar, wenn auch — wie schon jetzt sich ahnen lässt und die Folge noch leh- 

 ren wird — schwierig ausführbar ist. 



