Realität der imaginären Grössen. 



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% 57. 



Zurückleitung alles Potenzirens auf das einfachste sc genannte natürliche Potenziren. 



Zur Vereinfachung der uns vorschwebenden Forschungen erwägen wir vor Allem den 

 Fall , гѵо der Pctentiand h eine absolute Zahl ist. Dann ц ibt uns die Lehre von den natür- 

 lichen Logarithmen*) an die Hand, dass jegliches Potenziren einer absoluten Zahl auf ein 

 Potenziren der bekannten Grundzahl 2.718*2818.... der natürlichen Logarithmen, das man 

 mit Thibaut das natürliche Polcnziren nennen kann, sich zurückleiten lässt. 



Bezeichnet man nämlich diese bestimmte, als Grundzahl der natürlichen Logarith- 

 men, als natürlicher Pot 'entiand dienende, Zald nach einem herrschenden Gebrauche mit 



e, die natürlichen Logarithmen mit so ist der Potentiand h=e Vt> , also die Potenz Л«-))з п = 

 e ((-))i n .ih 



Gibt nun n.lh die Zahl «, so bleibt nur mehr die Bestimmung der natürlichen Po- 

 tenz <К (-))іа in Frage gestellt. Für sie gehen obige Haupllehrsätze und Grundgleichungen 

 (§. Ь6) die generelle Gleichung 



I) £ ((-»^ = , t + ((_))4 



oder das Paar ihr gleichgeltender specieller Gleichungen 

 (2) e± a — и ! -f" I v 



e-^ — и — v ; 



wo die beiden Glieder и und v wie vorher an die Bestimmungsgleichung (2) in § Ь6 ge- 

 bunden sind, jedoch lediglich aus dem Exponenten « berechnet werden, weil e Keine allge- 

 meine, sondern die besondere Zahl 2.1182818 vorstellt. 



§. 58. 



Benennungen und Bezeichnungen. 



Die den Exponenten « enthaltenden Ausdrücke и und v heischen nun, gleich den 

 Ergebnissen aller häufig wiederkehrenden, insbesondere der Grundreihnungen , von der 

 Algebra eine eigentiiiimliche Benennung und Bezeichnung. Allein, weil die Algebra ihre 

 allgemeinen Lehren, in ihrer allmälichen, zumeist durch das Bedürfnis bedingten Heranbil- 

 dung, von den vielseitigen Anwendungen derselben auf die mannigfaltigen Zweige der be- 

 sonder-! Mathematik, vornehmlich auf die, weit früher als die allgemeine Grössen- und 

 Zahlenlehre — Algebra — ausgebildete Raun^g rössenlehre — Geometrie — abstrahiren 



* Es ist mir, wie ich an einem anderen Orte zu zeigen Gelegenheit nehmen werde, geglückt, die Lehre von 

 den natürlichen Logarithmen ganz, elementar und völlig streng, ohne Anwendung der, zu vielen Umschwei- 

 fen nötliigeuden , couvei genten unendlichen Reihen abzuhandeln. 



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