Realität der imaginären Grössen. 243 



Multiplicirt man beide Gleichungen mit einander, so erfolgt 



e l(a-*--ft) — cos, a cos. ß =p sin. a sin. ß -{- \ (sin. a cos. ß cos. a sin. ß). 

 Ersetzt man aber in der obigen Grundglcicbung (1) §. hS die Zahl a durch das Zahlen- 

 binom ctzh.ß, s<> verwandelt sie sich in 



еН«*/Л ZZ cos. (a ±ß) +1 sin. (а± ß) ; 

 daher, wenn man die beiden letzten Gleichungen an einander hält, findet man 

 ( 1 ) cos. (a zt /?) ~ cos. a cos. ß sin. a sin. ß 



(2) sin. (a^t-ß) — sin, a cos, ß -+- cos . a sin, ß. 



§ 61. 



Stamm/ unclionen vielfacher Zahlen. 



Ersetzt man eines Thcils in der Grundgleichung (1) §. 58. die Zahl a durch 

 das Product та, wo m ein beliebiger Multiplicator ist, und potenzirt man andern Theils 

 diese Gleichung nach m (als Exponenten); so findet man für e itaa zwei Ausdrücke, welche 

 einander gleichgestellt 



(1 ) cos. ma -J- ф sin. ma — (cos. a -\- ^ sin a) m 



geben. Stellt man die letztere Potenz complex dar, so findet man sogleich Ausdrücke für 

 cos. ma un d sin. m a. 



Uns genügt hier, m eine absolute ganze Zahl sein zu lassen, wo wir erhalten 



(2) ces. ma — cos. a m — cos. a m ~ 2 sin. a 2 -f cos. a m ~* sin. а 4 



(3) sin. ma— cos. a m ~ l sin. а — cos. a m ~ s sin. a 3 -\- cos.a m ~ b sin. a b 



Vorzugsweise betrachten wir m — 2 und finden dafür 



(4) cos. 2a — cos. a" — sin a' 2 

 (*v SÍ71. 2 а ZI 2 sin. a cos. a. 



Setzen wir noch in der ersteren Gleichung für sin. « 2 oder cos. « 2 ihren Ausdruck 

 aus Gl. (3) § 58, so erhalten wir noch 



( 6 , cos. 2« — 2 cos. « 2 — 1 ZZ l — 2 sin. а 2 . 



§. 62. 



Stamm/unctionen halber Zahlen. 

 Bringt man in diese Gleichungen (6) für а ihre Hälfte so findet man aus ihnen 



"* У 



« \ /1 + COS. OL 



'т =± Ѵ-^з — 



а \ /і — cos. а 



sin. — — -i- \ / . 



2 ~~— V 2 



COS. 



