Realität der imaginären Grössen. Sí45 



d. h. Ist die Zahl hinreichend klein, so muss bei wachsender Zahl 

 der Cosinus ah-, der Sinus aher zunehmen ; 

 also auch umgekehrt bei abnehmender Zahl 

 der Cosinus wachsen und der Sinus abnehmen. 



2. Für « — 0 ist demnach und gemäss §. r>9, III., cos. к — -f- 1 und sin. а — -f- 0' 

 d. h. Wird die stetig abnehmende positiv be/.iehliche Zahl « endlich :=r 0, so erreicht ihr 

 cos. seinen grössten positiv beziehlichen, also auch überhaupt seinen möglich grössten 

 Werth -\- I, ihr sin. dagegen seinen kleinsten positiv beziehlichen Werth 0. 



3. Aus all Diesem und aus der an sich klaren Bemerkung, dass eine veränderliche 

 Zahl niemals weder über ihren grössten möglichen Werth hinaussteigen, noch unter ihren 

 kleinsten möglichen Werth herabsinken kann, erhellet nun: 



Wenn die Zahl a von 0 an stetig wächst, 

 muss cos. a von -f- 1 an » positiv beziehlich bleibend, stetig abnehmen, 

 dagegen sin. а ,, 0 „ ,, ,, ,, „ zunehmen ; 



mithin muss endlich einmal ihr ces. dem sin. ganz oder algebraisch (d. i. in Grösse und Be- 

 ziehung) gleich werden; oder: 



Es muss eine gewisse kleinste Absolutzahl geben, deren gonic metrische Stammfunctionen ein- 

 ander gleich sind. 



Bezeichnen wir nun diese ausgezeichnete Absolutzahl mit t, so ist cos. г ZZ sin. t. 

 Da nun, (§. 58, (3)) auch cos. f 2 + sin. t" ZZ 1 



sein muss, so ist cos. £ 2 ZZ sin. в" ZZ \ 



cos. s ZZ sin. s ZZ — - ZZ в V~2. 

 § 65- 



Kleinste Absolulzahlen mit einer annullirten Stammfuncticn. 



Setzt man in §. 61 Gl. (4) und (b) die Zahl «Zf, so erhält man mit Bücksicht 

 auf das eben Gefundene 



cos. 2i ZZ 0, sin. 2« ZZ -f- 1. 



Die doppelte Zahl s ist demnach die kleinste Absolutzahl , deren Cosinus Null, und 

 daen Sums -\- 1 ist; oder deren Cosinus den kleinsten absoluten, und deren Sinus den 

 algebraisch grössten Werth hat. 



Setzt man nun eben daselbst «ZZ2«, so findet man 



cos. 4г ZZ — 1, sin. 4s ZZ 0. 

 Die vierfache Zahl s ist also die kleinste Absolutzahl über Null, deren Sinus Null, und 

 deren Cosinus — 1 ist; oder deren Sinus den kleinsten absoluten, und deren Cosinus den 

 algebraisch kleinsten Werth hat. 



AMl. v. 6. 32 



