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2-16 Wilhelm Matzha, 



§. 66. 



Ludolphischc Zahl oder die Zahl n. 



Es Iässt sich mit auch nur geringer Überlegung einsehen, dass diese in der natür- 

 lichen Potenzirung nach transversiv beziehlichen Exponenten ausgezeichnete Zahl f, oder 

 andere aus ihr leicht berechenbare Zahlen, wie ihre Vielfachen, vielten (aliquoten) Theile, 

 deren Umgekehrte (reciproké Werthe), Potenzen, Wurzeln u. dgl., auch in den Anwendungen 

 der Zahlenlehre auf die verschiedenen Zweige der besonderen Mathematik eigenthiimliche 

 Bedeutungen und Benennungen erhalten können. Die rechnende Geometrie, als der am 

 frühesten ausgebildete Zweig der besonderen oder angewandten Zahlenlehre, fand sich ver- 

 anlasst, solche ausgezeichnete Bedeutungen und Benennungen dem Vierjachen der Zahl в, d. i* 

 der kleinsten Absolutzahl über Null, deren Sinus Null ist, beizulegen. Von diesen Benennun- 

 gen kann aber die Algebra, als ahstracte (reine) Zahlenlc hre, am füglichsten nur diejenigen 

 benützen, die nicht auf jene geometrischen, also speciell-wissenschafdichen , Bedeutungen 

 abzielen. 



Darum nennt man in der Algebra die kleinste Absolutzahl über Null, deren Sinus Null, 

 ist, oder auch deren Cosinus den algebraisch kleinsten möglichen Werth — 1 hat, die 

 Ltttdolphische Zahl*), oder weil man sie als besondere Zahl stets durch n zu bezeich" 

 nen pflegt, die Zahl Pi. 



Ist sonach 4«ZZí7, so ist 2 f ZZ — , iZZ — » 



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daher gemäss §. 64 und 65 



( 1 ) со s. n ZZ — 1 , sin. 7T ZZ 0, 



71 7t 



(2) cos. — ZZ 0, sin. — ZZ + 1, 



(3) cos.— ZZ sin. — ZZ — - — — V 1. 



Setzt man, in den Gleichungen (2) und (3) d. §. 61, с ZZ n, so wird für jede ganze 



Zahl m 



(4) cos. тті~{ — l) m , sin. Ш7т~0, 

 also für gerade und ungerade Zahlen 



(Ó) COS. 2п71~-\- I, COS. (2n -\- 1) 77 ZZ — I. 



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Nimmt man aber aZZ — und m~2n-\-l an, so wird 



(6) cos. (2?г+1) ^ ZZ cos. (n + ZZ 0, sin. (2»+D 2-ZZ sin. (jn-\-V) тт ZZ (— 1)". 



Aus den Gleichungen (1) und (2) d. §. 60 findet man, wenn man ß erst ZZ 2птг 



und dannzz (2 n -\- і~)тт setzt, 



*) Von ihrem ersten ausführlichen Berechner Ludolph van Ceuten (von Köln). 



