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Wilhelm Matzka, 



§. 68. 



Eigenschaften der Tangente. 



_ _„ л . . . im. 0 0 .. .. . 



I. Fur а — О wird tang. О = — — , nämlich tang, 0 = 0; 



cos. 0 1, 



also auch für lim. ct — O ist lim. tang. a — Q. (§. 59, III.). 



„ „ . tang. я sin. a 1 



II. Es ist § — — . , 



cos. а 



folglich (§. 59, VI) für /ш.«=:0 wird lim. zr: lim. S - ln ' a — 1. 



III. Tangente eines Zahlenbincms. Naeh unserer Erklärung der Tangente (§. 67) ist 



«гг'я. (« zt ß) 



tang. (« ЧН /3) 



cos. (« rfc /3)' 



доп. a cos, ß -+- cos, и sin. 



cos. a cos. ß sin. a sin. ß' 

 und wenn man in diesem Quotienten Dividend und Theiler durch cos. a cos.ß theilt, und 

 wieder auf die Erklärung der Tangente Rücksicht nimmt, 



tans; а -+- tan ff. ß 



tang. о ± ß) pp . ± ■ — г ^ 



1 -+- tätig, a tang. p 



IV. Änderung der Tangente bei wachsender Zahl. Sieht man in dieser Gleichung, für 

 das ohere Aggregationszeichen, ß als Wachslhum von « an, so findet man die entspre- 

 chende Zunahme der Tangente 



tang. (« + £) 



weil darin 



1 tang. ß 



1 — tang. a tang. p cos. « 



sin. « 2 cos. a 2 -)- sin. a" = 1 1 



1 + tang. a 2 = 1 + - — — - ist. 



cos. a J cos. a 1 cos. a 1 



tan 0- . 3 



Ist die Zunahme ß so klein, dass man —~- nach II hinreichend nahe z=. 1 setzen 



kann, so ist die Zunahme von tang. a zureichend nahe 



tang. («+/?) — tang. а = — —1 . 



§. 69. 



Einschrankende Grenzen der Verhältnisse des Sinus und der Tangente zur Zahl, wenn diese 



hinreichend klein ist. 



In §. 59, VI und §. 68, IV fanden wir, für hinreichend kleineZahlen ß, 

 sin. (« -|- /3) — sin. а — ß cos. а 



tang. (« + /?) — tang. a — 



