Realität der imaginären Grössen. 



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So lange a ^ 0 und an sich klein genug ist, muss 0 <C cos. « < 1, daher 

 sin. (a -\- ß) — sin. a 



ß 



— cos. a <; i 



tang. (a -(- /?) — tang. a 1 



— — > 1 sein. 



ß COS. et 1 



Wenn nun nicht hloss ß, sondern auch a, und zwar diese rascher als jene, un- 

 endlich abnehmend gedacht, also lim. « = 0 und lim. ß — 0 gesetzt wird; so nähert sich ces. к 

 1 



wachsend, folglich abnehmend , aber immer stetig der 1, also findet man 



cos. ar 



Um. <™JL< i , tm . > 1 . für lim. ß-o-, 



ß - ß = ■ p 



d. h. Für hinreichend kleine Zahlen ist das Verhältniss des Sinws zur Zahl selbst kI " ner a l s { } 



der Tangente grosser 



beide Verhältnisse haben aber 1 zur Grenze; 



mithin nähert sich bei stetig und unendlich abnehmender Zahl das Verhältniss 



des Sinus r, i i i • i r «• i 4 wachsend. 



, rr> zur Zahl der gemeinschaftlichen (.»renze 1 stetig 

 der Tangente abnehmend. 



Nimmt man nun in den letzten Vergleichungen für ß einen genugsam kleinen 

 Werth a, so findet man 



sin. а , lang, а 

 . < 1 < Ё . 



а а 



Ist die Zahl a positiv beziehlich oder absolut, und multiplicirt man mit ihr diese 

 drei stets positiv beziehlichen Zahlen , eo wird 



sin. a <C a <C tang. а; 

 d. h. Jede hinreichend kleine Absclulzahl ist grösser als ihr Sinus, 



aber kleiner als ihre Tangente. 



§• 70. 



Berechnung der Ludclphischen Zahl. 



Betrachten wir die Verhältnisse einer beliebigen, einerseits durch ihre Tangente und 

 andererseits durch ihren Sinus getheilten Absolutzahl a zu der zu berechnenden Ludolphi- 

 schen Zahl n, und bezeichnen wir diese Verhältnisse mit p und q, so dass wir erhalten 



(1) p — : n 1 — — : я • 



tang. a sin. а 



Dann folgt hieraus 



Sin. a a . ce 



tang. a z=. — , sin. a — , 



cos. a pn qn 



und, wenn man diese Gleichung durch jene theilt, cos. a — — . 



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