250 Wilhelm Malzka, 



Bezeichnen wir dieselben Verhältnisse bei der halben Zahl, ( — f mit p x und q x , so 

 muss eben so sein 



i — l a i Pi 



sin. A « — — , cos. ha — '■ — • . 



Ч\ п 4i 



Zwischen den Stammfunctionen von a und J ž « bestehen aber die Beziehungsglei- 

 chungen (6) und (ö) d. §. 61; folglich, wenn man in diesen die Stammftinctionen durch 

 obige Ausdrücke ersetzt, findet man nach Weglassung der überflüssigen Factoren 



P_— о А 2 .- ь 1 — 



Sieht man in diesen Gleichungen die auf die Zahl к beziehlichen Verhältnisse 

 p und q als durch die Gleichungen (1) bekannt an; so kann man mittels ihrer leicht die 



/у 



auf die halbe Zahl, —, beziehlichen Verhältnisse p x und q x ausdrücken. Zu diesem 

 Zwecke eliminirt man aus ihnen q^. indem man der ersten Gleichung die Form 



(,+42 = к 



\ q/ q r 



ertheilt und sie durch die zweite dividirt, wodurch man erhält 



(2) ř , = ^±i. 

 Danach gibt dieselbe zweite Gleichung 



(3) q x — ^qp x • 



Diese Gleichungen (2) und (3) lassen also erkennen; 



1. dass p x das arithmetische Mitlei von p und q, und 



2. dass q x „ geometrische ,, q „ p x ist, 

 folglich dass p x immer zwischen p und q 



und q x „ „ q „ p y liegt. 



Nimmt man die von Null verschiedene Absolutzahl « nicht grösser als 2s — ~ 



TT 



nämlich 0 <C « ^ ~, so ist 



(t " ~ Tjr 77 



0 <; — : folglich sind die Beziehuniren der goniometrischen Functionen 



dieser Zahlen « und — durchgängig positiv, also auch die der Zahlen p, q, p x , q x . Mit- 

 hin sind in den Gleichungen cos. a — —und cos.— — — die Cosinus positiv beziehlich 



4 4\ 

 d 1 , also ist auch p <L q und p x < q x . 



un 



