Realität der im<igi?iärcn Grössen. 



Dann ist nach Obi«cm 

 daher im Zusammenhange 



f < Pt < ? Pi < <7i < 4 



P < Pi < < 7> 

 § 71. 



WortSeittmg. 



Wenn man nun die vorgenommene Halbirung der Absolutzahl a fortwährend wie- 

 derholt, und die für diese Zahl « durch p und q bezeichneten Verhältnisse 



.. . а а к а а 

 mr die Zahlen — , —i , — , — , — 



2 2 2 2 3 2 4 2" 



ähnlich bezeichnet mit p 1 , q l ; p 2 , q^ ; p 3 , q 3 ; p 4 , q 4 ; p n , q a • . • . 



so bilden alle diese nach und nach aus einander zu entwickelnden Verhältnisse 

 die Zahlenreihe 



P > <1 5 P\ > <7i ? Рч ' <1г '■> Рз > ( h '■> Pi >4i '■> p n ,q n , . . . 



Von dieser ^ilt, dem Vorhergehenden gemäss, Folgendes: 



1. Die beiden ersten Glieder, p und q, werden für eine gewisse Zahl а 0 

 aber — , deren cos., sin. und tang. man kennt, nach den Gleichungen (1) berechnet. 



2. Von diesen zwei Gliedern nimmt man das arithmetische Mittel, p 1 , und stellt es 

 als drittes Glied auf. 



3. Von den nunmehrigen zwei letzten Gliedern , q und p l , rechnet man das geo- 

 metrische Mittel q t , und setzt es als nächst folgendes Glied an. 



4. Und so rechnet man denn fortwährend von den zwei letzt erhaltenen Gliedern 

 abiucchselnd das arithmetische und geometrische Mittel. 



o. Dann liegt jedes spätere Glied zwischen den beiden ihm zunächst vorhergehen- 

 den, also auch zwischeu jedweden zwei unmittelbar auf einander folgenden früheren 

 Gliedern. 



6. Mithin müssen die Glieder dieser Reihe einer gewissen gemeinschaftlichen 

 Grenze zustreben, welcher sie sich desto mehr nähern, je spätere sie sind, und welche dem- 

 nach gleichfalls zwischen jeden zwei benachbarten vorausgehenden Gliedern liegt. 



7. Diese Grenze der ohne Ende fortlaufend gedachten Reihe ist — , das Umge- 



я 



kehrte der Ludclphischen Zahl, und zwar für sämmtliche anthmetls ^' c Mittel oder un §" dcl ^ elIl S e 



geometrische geradstelhge 



. . , „ . Wachsen. 



Ijheder die Grenze im 



Ahnehmen. 



