Realität der imaginären Grössen. 255 



folglich die Sinus ihren Zahlen selbst höchst nahe proportionirt, und also auch 



n \ <C . a <ř л 1 



sin. — : — sin. а : — sin. 



Ob 2" — 71 — 2" +1 ' 2 n +i 



Da in diesen Proportionen für a~\' der Quotient — ~ 



ť 7t 180.60, 



a—V " 1 



ti — 180.60 2 



ist: so kann man für sin. a zwei zureichend genäherte Grenzen berechnen, ohne я selbst 

 zu kennen. 



& 74. 



Berechnung und Verzeichnis der goniometrischen Functionen zu gegebenen Zahlen, und wirkliche 

 Ausrechnung von Potenzen nach transversiv beziehlichen Exponenten. 



Nachdem nun die Zahl n aufgefunden ist, kann man für alle anderen Zahlen ihre 

 goniometrischen Functionen, so wie auch die dekadischen und natürlichen Logarithmen 

 derselben berechnen und für den Gebrauch in bequeme Verzeichnisse — geniometrische 

 Tafeln — einreihen. Gewöhnlich berechnet man jedoch solche Tafeln nur für gewisse, 

 durch angenommenen Gebrauch festgestellte, vielte Theile von n, und für deren nach einan- 

 der folgende Vielfachen; wozu (nach §. 73, III.) nicht einmal die Kennlniss von я selbst, 

 sondern nur die des Verhältnisses der Zahl zu я, erforderlich ist, wenn man sich mit ange- 

 messen wenigen Decimalstellen begnügt. 



Mit Hilfe solcher Verhältnisse lässt sich dann die Ausrechnung der ccmplexen Poten- 

 zen jeder beliebigen Absolutzahl nach transversiv beziehlichen Exponenten mit zureichender 

 Genauigkeit vollbringen. 



Wir können jedoch diese mehr bekannten Gegenstände hier nur kurz andeuten, 

 und müssen auf die Lehrbücher der analytischen Goniometrie, besonders auf „Thibaut's 

 Grundriss der allgemeinen Arithmetik oder Analysis , Göttingen, 1830, Cap. 12,'' verweisen; 

 weil wir den Raum zu den nachfolgenden, für unseren Zweck äusserst wichtigen und folge- 

 reichen, Untersuchungen benützen müssen. 



§. 75. 



Mo ivré's Bincmialformel. 



Vermöge Gleich. (1) in §. 61 ist für jede Zahl m 



e+ ma ~{cos. a -\- ^ sin. «) m ~ cos. ma-\-^ sin, ma. 

 Setzt man hierin anstatt к die Zahl « -{-2 а я, wo а (so wie im Folgenden jeder 

 Buchstabe des kleinen deutschen Alphabetes) eine durchlaufende positiv oder negativ bezieh - 

 liehe ganze Zahl vorstellen soll; so findet man, weil gemäss Gl. (7) d. §. 66 diesen zwei 



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