Й56 Wilhelm Matzka, 



Zahlen ganz dieselben goniometrischen Functionen zukommen, folgende höchst bedeutsame 



und ergiebige Gleichung 



((^«))m— (( ees . a +| sin. «)) m — cos. m {a -\- 2 a ті) + 1 sin. m (« -f 2 arc) IZ e *" ( " + 2 * 4 

 welche die Binomialformel des Mcivre, ihres Entdeckers, genannt wird, und in welcher die 

 Doppelklammern auf die Vieldeutigkeit der Ausdrücke der m Potenz von cos. a +| Jin - a °^ er 

 e^ a aufmerksam machen. 



§. 76. 



Vielfältigkeit der Ausdrücke der Potenzen und Wurzeln. 



Setzt man in der letzten Gleichung für die Zahl « erst 0, dann rc, so erhält man 

 nach §. 59 und 66 



(1) ((+ \y) m ZZe ,mm?l — ccs.(2a-)m7T +| sin. (2а)тл 



(2) ((— 1 )) m = е іі2а ' 1)тЛ — cos. (2a+ 1 )mrc +| sin. (2a+ 1 )mrc. 



I. Ist der Exponent m eine ganze Zahl, so sind auch (2a)m und (2a-|-l)m ganze Zahlen, 

 erstere immer gerad, letztere aber nur dann, wenn m gerad ist, folglich ist gemäss Gl. 

 (4) und (5) d. §. 66 



cos. (2а)ттг— + 1, cos. (2а+1)»ггс — (— l) m , sin. (2a)mn =. sin. (2a-|-l)rarc — 0, 

 daher 



((+l)) m I= c m * — +1, ((— l)) 2n — ^ 267r ZZ+l, ((— l)) 2nt, =I <4P*t')* = _i, 

 wie auch sonst bekannt. 



II. Ist aber der Exponent m keine ganze Zahl, so müssen die Potenzen ((-(-l)) m und 

 (( — l)) m , weil die willkürliche ganze Zahl а von — cc bis -|- oo wachsen kann, im Allge- 

 meinen unendlich viele complexe Ausdrucksweisen gestatten. 



Hierbei lässt sich jedoch fragen , ob nicht doch und wann bei den cos. und sin. von 

 (2a)mrc und (2a-f-l)/wrc eine periodische Wiederkehr ihrer Werthe, also auch der Ausdrücke 

 von ((-|-l)) m und (( — l)) m , eintreten könne, d. h. ob es nicht Paare von Zahlen а und а' 

 gebe, für welche jene Functionen und diese Ausdrücke gleich ausfallen. Da nun zwei Zahlen 

 nur dann ganz gleiche goniometrische Functionen besitzen, wenn sie um ein Vielfaches von 

 2rc unter sich verschieden sind (§. 66, Gl. 7); so liegt die Antwort auf obige Frage in 

 den zwei Bedingungsgleichungen 



2awrc — 2а' тп ~ b.2rc , (2а-{-1)?>ш — (2а'-|-1) m rc ~ b.2rc. 



Diese zwei Gleichungen leiten aber auf die einzige 



(а — а')га ~ b oder m ~ — - — 7 , 



а— а 



und aus dieser ersieht man sogleich: 



1. Bei den Potenzen der direct beziehlichen Einheit tritt eine periodische Wiederkehr 



