Realität der imaginären Grossen. 257 



ihrer im Allgemeinen complexen Ausdrücke nur in dem Falle, dann aber auch nothwen- 



dig ein , wenn der E-rpcnent eine rationale Zahl ist. 



2. Ist demnach der Exponent irrational, mithin kein Vielfaches von ihm eine ganze 

 Zahl; so hat jede Potenz der direct beziehliehen Einheit unendlich viele verschiedene und 

 durchaus complexe Ausdrücke. 



Ш. Wenn nun der Exponent m rational, also (mit Rücksicht auf I.) ein eigentlicher 

 (unganzer) regelmässiger Bruch ist, dessen Zähler und Nenner den grössten gemeinschaft- 



liehen Theiler t haben, und der durch die möglich kleinsten Zahlen dargestellt — folglich 



n 



lit nf 



selbst = — ist; so bleibt es in den Ausdrücken der Potenzen ((±1)) gestattet, Zähler 



nt 



und Nenner der Mulliplicatoren von n durch t abzukürzen; und sonach ist 



A( (2a)*/ (2a)* * 

 — - — — Tl i, TT — 



((+!))'" = / =Л- =((+1))" 



■cos. Ш.П + | sin, Mí„ 



Ii n 



kt , (2aH)kl . (2a+1)A к 

 — ± TT i. 71 — 



a-or = г = _ (C _ () ," 



n n 



Zur weitern Vereinfachung dieser Ausdrücke werden wir, was immer verstattet bleibt, 



к 



die Beziehung des Exponenten — bloss auf den Zähler к übertragen, und dafür den iven- 



n 



пег n unbezogen nehmen. 



Nun gebe ak durch n getheilt с zum Quotus und b zum Reste, welcher positiv 

 beziehh'ch und nicht Null, also höchstens dem Theiler n gleich sein soll, und daher* 



weil к uud n Primzahlen unter sich sind» jede der n Zahlen 1, 2, 3, n sein muss. 



E ben so gebe (2o-}-lj£ durch In getheilt с zum Quotus und, je nachdem к gerad oder 

 ungerad ist, zum Reste 2b oder 2b — 1, nämlich entweder alle positiven geraden Zahlen 

 2, 4. 6,.... 2ra, oder alle ungeraden Zahlen 1, 3, 5,.... In — 1 über 0 und nicht über 

 2w ; so dass auch hier b~l, 2, 3,.... n ist. Es sei nämlich 



fl£~Cra-|-b , (2a-|- 1) к ~ c« In -f2b , wenn /( gerad 



~ c« 2n — |— 2 b — 1, wenn к ungerad ist; 



dann hat man 



2a* _ ч . 2b (20+1)* _ . . 2b 



tt~('2ti-\ n , ■ — —ti ~ c« 2тт -\ oder 



n n n n 



— o i 2Í >— 1 



C« in -\- 71. 



