364 Wilhelm Matzka, 



Denn es ist a-\-\.b — a -j- Welche Grösse und directe Beziehung nun 



auch die Zahlen a und b, also auch ihr Quotient — haben mögen; so muss es doch 



a 



unter den zwischen — oo und 4- oo begriffenen Tangenten sicher eine, diesem Quotien- 



ten völlig (in Grösse und Beziehung) gleiche, daher auch in jedem Bereiche von Zahlen, 



deren Tangenten nicht nur zwischen 0 und cc sich ausbreiten, sondern auch zur Hälfte 



positiv, zur Hälfte negativ beziehlich sind, eine gewisse Zahl со vorkommen, deren Tangente 



jenem Quotienten ganz gleicht, so dass 



b sin. со 



— - — fang, co ZZ 



а ces. со 



gesetzt werden kann. Hieraus folgt nun 



(1) — - ZZ — — ZZ val. abs. УГ a*+b" ZZ r, 



ZZ zfc ^a 2 + t 2 . 

 ces. со sin. со Уем, со 2 + sin. CO* 



Die Zahl co muss also auch so beschaffen sein, dass ihr Cosinus zu ihrem Sinus 



sich eben so verhält, wie a zu b, und dass die Beziehungen dieser Functionen jenen von 



a und b entweder gleich oder entgegengesetzt sind. Bichtet man, was natürlicher ist, diese 



Beziehungen gleich ein, nämlich jene von ces. со gleich der von a, und also die des sin. со 



gleich der von b; so muss die vorkommende Wurzel positiv beziehlich oder nur absolut 



genommen werden. Man erhält demnach 



b 



ces. со sin. со 



wenn man den absoluten Werth der У а--\-Ь <2 - mit r bezeichnet. 



Dann findet man für die Zahl со nach den Bestimmungsgleichungen 



ob,, a . b b 



(2) ces. со ZZ — , sin. со ZZ — . fang, со — 



r r а 



zwar immerhin noch, wegen §. 66, Gl. 7, beliebig viele, je um 2 n von einander unterschie- 

 dene Werthe ; aber es wird sich doch nur ein einziger, positiv beziehiieher, 2 я nicht über 

 steigender Werth dafür mit Entschiedenheit aufstellen lassen; der denn auch fernerhin immer 

 gemeint sein soll. 



Sind so aus a und b die Zahlen r und со berechnet, so hat man 



(3) « ZZ r ces. со , b ZZ r sin. со, 

 folglich 



(4) a -j- I b ZZ г (cos. со -J-.J, 5г;г - w ) — ^"'r. 



Nach Cauchi) nennt man die Absolutzahl r den Mcdul und die goniometrische com- 

 plexe Zahl ces. со -\- 4, sin. со , oder die von ihr ausgedrückte Potenz c^"', den reducirten 

 Ausdruck der vorgelegten ccmplcxcn Zahl a-\-^b. 



H. Besehen wir diesen Ausdruck der complexen Zahl von einer neuen, bis jetzt 

 noch von Niemanden beschauten, Seite, indem wir erwägen, dass е іШ ZZ ces. co -f-4- ю 



