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Wilhelm Matzka, 



Denn diese Gleichheit muss jederzeit nothwendige Folge der Summirung (Addition) 

 jener beiden als bestehend vorausgesetzten Gleichheiten .sein. 



Wird demnach bei irgend einer Gattung von Grössen die ausgesprochene Grund- 

 bedingung nicht erfüllt; so können auch solche Beziehungen nicht, mit Erfolg für die Rech- 

 nung, auf derartige Grössen angewendet weiden. 



§. 97. 



Diese Grundbedingung ist bei allen, wie immer ablenkenden, Strecken wirklich erfüllt. 



Denn angenommen die unter den Winkeln «, ß ablenkenden Strecken a und b 

 werden (in Fig. 13 a) durch eine um den Winkel q ablenkende Strecke r, und die unter 

 denselben Winkeln ablenkenden Sirecken a und b' werden (in Fig. 13 b) durch die um 

 den nämlichen Winkel q ablenkende Strecke r ersetzt. 



Verlängert man OA um AA" ZZ OA' ZZ a , damit OA" ZZ a -f- d wird, und 

 führt man A'B" so, dass sie mit der OX den Winkel ß bildet, so ist sie desswegen || AB. 

 Macht man dann А'Ъ ZZ b' und den Winkel Ä'AX" ZZ a, so ist AX" \\ OX, und daher 

 auch A"C"X" ZZ ß. Das System der Geraden AX", AA" und С'А'Ъ kann demnach mit 

 dem Systeme der Geraden OX', OÄ und CAR zur Deckung gebracht werden, und ist 

 ihm daher congruent, folglich ist auch SßAX" ZZ B O X' =r q und АЪ ZZ O B' ZZ r\ Schnei- 

 det man nun noch ЪВ " — b ab, so dass die von OX um den Winkel ß ablenkende 

 A B" ZZ b -f- b' ist, und zieht man аиз О und В nach В' die Geraden OB" und BB " , so 

 fallen sie überein. und BB" ist ZZ r . Denn weil AX" \ \ OX und Ч&АХ ZZ ? ZZ BOX ist, 

 muss АЪ\\ОВ sein. Feiner weil Ш" ZZ b ZZ AB und 335" || AB ist, muss АЪ sowohl || 

 als = BB' folglich BB" — r sein. Zur АЪ sind also durch denselben Funkt В die OB 

 und BB I I , mithin fallen diese beiden Strecken OB ZZ r und B B ' ZZ r in die gerade 

 Linie OB" zusammen, und es ist der Winkel B" OX ZZ Q und die Strecke OB" ZZ r -f- r . — 

 Sonach werden in der That die um die Winkel « und ß ablenkenden Summen a -\- a' und 

 b -\- b' auch durch die um den Winkel q ablenkende Summe r -|- r ersetzt. 



§. 98. 



Andeutung der interessanten Folgen aus diesen Grundprincipien. 

 Diese äuserst einfache und ganz naturgemässe geometrische Bestimungsweise der 

 Punkte der Ebene, welche aus der Geometrie nur die allerersten und einfachsten Kennt- 

 nisse (namentlich die Lehre von der Länge und Messung begrenzter Geraden, von den 

 Richtungen der Geraden und von ihren Winkeln, wovon die Lehre des Senkrecht- und 

 Parallelseins der Geraden besondere Zweige sind , nicht einmal die Lehre von der Con- 

 gruenz der Dreiecke*) voraussetzt, verbunden mit der unläugbaren Thalsache, dass alle 



*) Etwa diejenige Fundamentallehre der Geometrie, welche ich in meinen beiden Aufsäuen in Grunerl's Ar- 

 chiv Rd. 8, H. 3, S. 320 — 334 und H. 3, S. 365 — 374 von §.1 — 14 für Kenner genugsam ver>tändlich 

 skizzirt habe. 



