Realität der imaginären Grössen. 



algebraischen Bestimmungen eines und des nämlichen Punktes in einer festgelegtem Ebene 

 in Hinsicht auf einerlei vorher fixirte Grundrichtung und auf denselben in ihr festgestellten 

 Punkt, als ganz dasselbe bewirkend, einander algebraisch gle ich sein müssen; führt uns auf 

 höchst bemerkenswert he liesultate. 



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 Denn sie eröffnet uns den Eingang in das unübersehbare Gebiet der gesammlea 



rechnenden Geometrie, dessen besondere; Bezirke die Anwendung der Algebra auf die Geo- 

 metrie, die Goniometrie mit ihren umfangreichen Anwendungen, Trigonometrie, Polvgono- 

 metrie und Cyclometrie, und endlich die der verschiedenen Coordinaten-Methoden sich be- 

 dienende so genannte analytische Geometrie sind. 



Zum Belege, dass diese Behauptung gegründet und nichts weniger als übertrieben 

 ist, wird schon genügen, hier nur einige Grundzüge der Anwendung dieser unseren neuen 

 und einlachen Lehre zu zeichnen. 



§ 99. 



Zeichnung der Grundzüge einiger nächsten Folgen. 

 Allgemeinheiten. 



I. Bestimmen wir in Bücksicht auf dieselben fixen Gegenstände, so wie oben (in 

 §. 94) den nämlichen Punkt M noch durch eine zweite gebrochene Linie, und bezeichnen 

 wir die analogen Grössen derselben durch aecentuirte Buchstaben; so müssen die beiden 

 algebraischen Bestimmungen desselben Punktes M, oder die algebraischen Summen dieser 

 zwei Systeme ablenkend beziehlicher Strecken gleich sein; folglich besteht die Gleichung 



e^a + е+'Ч + e^c + + e^m ZZ e± a 'a + e^h' + eW'c + ....+ еМ*'т. 



Sie ist die Fundamentalgleichung der Lehre von den gebrochenen Linien, oder von den 

 Vielseiten, Vielecken, oder der ganzen Pchjgonometrie. 



Lösen wir, um dieses überschaulicher zu machen, die Potenzen in ihre complexen 

 Glieder auf, und stellen wir Gleichbeziehliches gleich; so erhalten wir das bekanntere und 

 nur direct Beziehliches enthaltende Paar von Grundgleichung cn der Pclygoncmelrie : 



a cos. a -j- b cos. ß -\- с eos. у -f- . . . . ~ a cos. a -j- b' cos. ß' -f- с cos. у -(-.... 

 a sin. « -\- b sin. ß -\- с sin. у -\- . . . . ZZ a sin. а -\- b' si?i. ß' -J- с sin. у -(-.... 



IL Als eigenfhümlichcr Fall ist hier vorzüglich der denkwürdig, in welchem die 

 zweite Bestimmungsweise des Punktes M bloss durch eine einzige , unter dem Winkel q ab- 

 lenkende, Strecke r bewirkt wird. Da ist 



eWr = Л + e^b + é»e + e± S d + -f- e^ u m, 



folglich in bekannter Form 



r tos. q — a cos. a -)- b cos. ß -\- с ces. y -(-.... -f- m cos. ц 

 r sin. о — a sin. а -\- b sin. ß -\- с sin. у -\- . . . . + m sot. fi. 

 III. Für eine geschlossene gebrochene Linie lässt man am einfachsten den zu bestim- 



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