Realität der imaginären Grössen. 



Diese Gleichungen können aber für alle willkürlich angenommenen e e~ ^ , e & 

 nur dann bestehen, wenn die einander gleicligestelllen Producte, also auch ihre zusammen- 

 gesetzten Factorcn insgosammt Null sind, folglich wenn 



a b r 



— — ist. 



af — b' — r' 



II. Parallelen paare. Sei in Fig. 14 ein Parallelenpaar p\\q, in ihm seien a und b 

 Zwischcnlinien, welche durch die Parallelstücke с und d getrennt sind und mit den Parallelen 

 die Winkel a und ß bilden*). In einem anderen solchen Parallelenpaare /о'||<7' seien unter 

 denselben Winkeln a und ß die Zwischenlinien a', b' gegen sie geneigt und durch die Pa- 

 rallelstücke c' und ď gelrennt. Dann sind diese gleich geneigten Zwischenlinien einander 

 und den Unterschieden der Parallelstücke direct proportionirt; nämlich es ist 



a b d — с 

 â' ~ I' — d '—c 1 ' 



Denn bestimmt man in Hinsicht auf О und auf die Grundrichtung OB den Punkt 



M einmal durch die gebrochene Linie О AM und ein zweites Mal durch die OBM; so findet 

 man, gemäss §. 99, I, die Gleichung 



Л H- с — e^b -f d, 

 daher ist Л — e^b -(- (d— c). 



Hieraus aber folgt die behauptete Proportionalität vermöge des vorigen Hilfssatzes I. 



Die Anwendung dieser Darstellung auf Parallclprojection der Strecken unter gleichen 

 Prcjecticnswinkeln und auf Parallelcocrdinaten in Erinnerung zu bringen, wird Kennern schon 

 genügen. 



III. Folgesatz. Werden zwei Geraden aa' und bb' in Fig. 15 durch zwei Paar ins- 

 gesammt parallele Geraden с \ | d\ \ c'\ | ď durchschnitten, so sind die Stücke a, a' der einen 

 Geraden den Stücken b, b' der anderen Geraden und den Unterschieden d — c, ď — с' der 

 die Stücke ausschneidenden Parallelen proportionirt. (Hauptlehrsatz von den Proportional^ 

 linien und Grundlage der Ähnlichkeit der Vielecke.) 



IV. Gewöhnliche oder Orthcgcnalprojeclion. Wird eine Strecke rauf zwei winkelrechte 

 Axen XX' und YY' (orthogonal) prejicirt; sind x, у ihre Projeclionen, und ist ф der Propec- 

 ticnswinkel der Richtung AM jener Strecke r mit der Grundrichtung OX der Hauptprojec- 

 tionsaxe X'X: so geben die den Punkt M in Hinsicht auf A und OX bestimmenden Linien 



AM und АРМ, vermöge §. 99, II die Gleichung 

 oder 



e^r — X + \y. 



*) Man sehe hierwegen meinen Aufsatz im Archiv, Bd. 8, Hit. 4, Absatz II, S , 367 — 7І. 



