284 Wilhelm Matzka, 



Das erste Paar setzt a^>c voraus und gilt für die Ellipse, 

 „ zweite „ „ a<Cc „ „ „ „ „ Hyperbel. 



Bemerkung. Benützen wir diese Gelegenheit zu einer wichtigen Erläuterung der 

 zum Theil entgegengesetzten, hier namentlich halb entgegengesetzten algebraischen Bezie- 

 hungen von Grössen. 



Vergleicht man die Gleichungen dieser zwei Linien, der Ellipse und Hyperbel, mit 



einander, so sieht man, dass sie ganz gleich gestaltet sind; nur wird der absolute Werth 



des Unterschiedes der zweiten Potenzen oder respective der Quadrate a 1 und c 2 in dem 



einen Paar Gleichungen addirt, im andern abgezogen. Will man demnach das eine Paar. 



z. ß. nach dem üblichen Gebrauche jenes der Ellipse, für beide Linien verwenden; so 



li j TT * i • Л S » • ^weilen Potenzen . Zahl 



wurde man bloss, den unterschied a — c~ îener „ , als eine gewisse 



J (Quadrate О Figur 



d darstellend, а" — c 2 — d setzen und darnach die Gleichungen 



d ^ V* 



r = . - + T = 1 



а — с ces. ф а а 



beiden Linien zuschreiben können. Man würde dann von den algebraischen Rechnungs- 

 ergebnissen der Ellipse auf die analogen der Hyperbel übergehen, indem man nur d in- — (/ 

 verwandelt, und hinterher zur weiteren Vereinfachung der Rechnungsausdrücke wieder d 

 durch a 1 — c 2 ersetzt. Folglich würde man die Aggregationsbeziehung von d in der Ellipse 

 für positiv, in der Hyperbel für negativ anerkennen. 



Allein, weil offenbar in vielen Rechnungen aus dem Unterschiede der zweiten Po- 

 tenzen « 2 und c 2 die zweite Wurzel sich ziehen lassen muss ; so findet man entschieden mehr 

 Vortheil für die Rechnung darin, dass man den Unterschied dieser zweiten Potenzen auch 

 als zweite Potenz einer Zahl b, oder den Unterschied der Quadrate a 2 und c 2 auch als 

 Quadrat einer Seite b darstellt. Darum setzt man in der Ellipse а 2 — с 2 ~ b 2 

 und schreibt dann beiden Linien die Gleichungen zu 



,= »!_ Í + t- - . oder fiY + ffV = 



a—c cos. ф ' a 2 b" V- a J V. b J 



Soll man dann aus den algebraischen Rechnungsergebnissen der Ellipse jene der 

 Hyperbel aufstellen; so kommt man damit leicht zu Stande, wo nur ž> 2 erscheint oder über- 

 haupt geradzahlige Potenzen von b vorhanden sind, da man hier nur die zweite Potenz von 

 b negativ beziehlich zu nehmen, also anstatt b" bloss — b 2 in die Rechnung zu setzen hat. 

 Allein, wo b auch vereinzelt oder in einer ungeradzahligen Potenz vorkommt, da kann man, 

 weil nicht b selbst, sondern erst seine zweite Potenz, é 2 , entgegengesetzt, negativ, zu aggre- 

 giren oder negativ beziehlich zu nehmen ist, b nicht in ganz, sondern nur in halb entge- 

 gengesetzter algebraischer oder Aggregationsbeziehung aufführen, also anstatt b nicht —b 



oder (—1)6, sondern bloss (—1)4 oder CV~— 1)6 oder 4.6 setzen. 



