Realität der imaginären Grössen. 285 



Wenn nun hierbei die algebraische Beziehung des Zahlwerthcs einer Strecke halb 

 negativ oder transversiv sich ergibt , so ntuss darum noch keineswegs diese Strecke selbst 

 die transverse (quere) oder senkrechte Stellung gegen die ihr in der Ellipse zukommende 

 einnehmen; sondern so eine Strecke, wie sie gefordert wird, kann ja auch in der Hyper- 

 bel geradezu unmöglich*) sein, weil ein nicht absolutes, sondern relatives, negativ oder ab- 

 weichend bezichliches , Rechnungsergebniss auf einen wirklichen Gegenstand zwar zuweilen 

 hinweisen kann, aber nicht schon jederzeit hinweisen muss. 



b 



Z. B. Die Gliechung der Ellipse gibt y = ± — \ja* — x 2 , daher ist die Ordinate y 



so lange in der Weise, wie die zu Grunde gelegte Zeichnung voraussetzt, direct beziehlich 

 und wirklich darstellbar, als val. abs, x nicht >► val. abs> a ist. Für die Hyperbel findet 

 man, wenn man b durch \,b ersetzt, innerhalb derselben Grenzen der Abscisse x, die Ordi- 

 b 



nate y zi rh 4- ~ V" — x% * a ^ so transversiv beziehlich , folglich gar nicht geometrisch nach- 

 weisbar oder darstellbar; weil in der Bestimmung x -f- \y der Punkte der zu erforschenden 

 Linie sowohl x als y (jede in ihrer Weise) direct beziehlich sein muss. Die nicht darstell- 

 bare transversive Beziehung der Ordinate der Hyperbel gibt demnach zu erkennen, dass 

 von den auf der Hauptaxe der Hyperbel zwischen ihren Scheiteln aufstellbaren (unend* 

 liehen) senkrechten Geraden keine einzige, also auch nicht die durch den Mittelpunkt 0 

 gehende Nebenaxe, in die Hyperbel einschneiden kann. 



Die Charakteristik des halben Gegensatzes der algebraischen Beziehung der Constante 

 b in der Ellipse und Hyperbel besteht in Folgendem. Es ist 



in der Ellipse b 2 — a 2 — с 2 ~ (a -j- c) (a — c) 

 „ „ Hyperbel b 2 ~ c 2 — а ~ (c -\- a~) (c — «); 

 also ist in beiden Linien b die mittlere geometrische Proportionale der Summe und des 

 Unterschiedes der halben Hauptaxe a und der halben Excentricität с (jedesmal das Klei- 

 nere vom Grösseren abgezogen gedacht). Um sie zu construiren, kann man mit den Halb- 

 messern a und с concentrische Kreislinien, — etwa um den Mittelpunkt 0 der krummen 

 Linie — beschreiben, und an die innere Kreislinie eine berührende Gerade bis an die 

 äussere führen. Die heiden Hälften dieser durch den Berührungspunkt halbirten Sehne des 

 Musseren Kreises sind sofort -f- b und — b. Bei dem Übergange von der Ellipse zur Hy« 

 perbel, von b zu ändert sich also die Lage des der b zum Anfangspunkte dienenden 

 Berührungspunktes dahin, dass dieser von der Kreislinie des Halbmessers a auf jene des 

 Halbmessers с überspringt; was man am deutlichsten einsieht, wenn man sich die c, welche 

 anfangs in der Ellipse <^a ist, nach und nach wachsen denkt, bis sie = a und endlich in 

 der Hyperbel > a wird. 



*) nicht etwa imaginär (einbildsam) , -weil ein wahrhaft Unmögliches, z. B. eine gerade oder viereckige 

 Kreislinie, sich auch nicht einmal einbilden la'sst, und ein Einbildsames nur scheinbar unmöglich ist. 

 Abh. V. 0. 37 



