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Wilhelm Mat zla, 



Bestimmung von Punkten des Raumes in Bezug auf einen fixen Punkt und eine festgestellte 

 Grundrichtung mittels unebener, d. i. nicht in Einer Ehene enthaltener, gebrochener Züge. 



In diesem Falle muss entweder noch eine zweite Grundrichtung — gewöhnlich auf 

 der ersteren senkrecht — oder eine Grundehcne festgestellt werden, welche meistens ent- 

 weder die erste Grundrichtung enthält oder zu ihr parallel ist. Denn hier genügt der 

 Winkel, um den die zu bestimmende Richtung von der ersten Grundrichtung ablenkt, alleinig 

 noch nicht zur Bestimmung jener Richtung, sondern dazu ist jederzeit noch ein zweiter 

 Winkel erforderlich; oder überhaupt, es müssen zwei Winkel zur Bestimmung einer Rich- 

 tung verwendet werden. 



Alle solche Bestimmung von Punkten wird in der einfachsten Weise, auf welche 

 jede zusammengesetztere zurückkommt, mittels eines geraden Zuges von einem bereits 

 bestimmten Punkte О aus zu dem zu bestimmenden M bewirkt. 



Sei nun OX in Fig. 33 die durch den Anfangspunkt О des Zuges ОМ ZZ r zur 

 ersten Grundrichtung parallel gleichstimmige Richtung, und Q die Projection des zu be- 

 stimmenden Punktes M in die durch OX zur Grundebene parallel geführte Ebene. Dann 

 kann man zuerst den Projectionspunkt Q in der Grundebene entweder durch die recht- 

 winkligen Coordinaten OP ZZ x und PQ — y, oder durch die Polarcoordinaten XOQ ZZ a 

 und OQ ZZ и bestimmen, und nachher in der auf der Grundebene senkrechten projicirenden 

 Ebene QOM des Radiusvectors OM den Punkt Ж selbst mittels der rechtwinkligen Coordinaten 

 OQ ZZ и und QM ZZ г oder mittels der Polarcoordinaten QOM ZZ ß und OM ZZ r. So wird 

 der Punkt M eigentlich durch den dreigliedrigen winkelrecht gebrochenen Coordinatenzug 



OPQM bestimmt. 



Die erste Bestimmung (des Punktes Q~) in der Grundebene gibt vermöge §. 104 die 

 Gleichungen des bestimmenden Zuges von О nach Q 

 à a u ZZ x -f- \.y 



. . — " — ~ и ZZ val. als. \x~ -\- y . 



cos. a " sin. a cos. a -\- ^.sin. a ZZ 



In der zweiten Bestimmung (jener des Punktes Ж) in der auf der Grundebene senk- 

 rechten projicirenden Ebene des Radiusvectors OM muss das Zeichen ф der transversiven 

 Beziehung oder des Senkrechtseins, zur Unterscheidung, weil hier die Ablenkung in einer 

 anderen Ebene als früher vor sich geht, in ein anderes umgetauscht werden; zu welchem 

 Zwecke wir es hier , um dem Buchdrucker keine zwecklosen Schwierigkeilen zu machen, 

 bloss einfach umkehren. Daher bestehen hier die Gleichungen des Zuges von О nach M 

 e^r = и + fz 



Ii ? к 4- tz . , 



" zz — - zz — s = r — val abs - V" 2 + z *- 



ces. ß sin. ß cos. ß -\- ^sin. ß ZZ e^' 



Eliminirt man aus den ersten Gleichungen dieser zwei Systeme von Gleichungen 

 die Zahl u, so findet man die Hauptgleichung 



,4«+ t/V — x + iy + t^" 2 



