Realität der imaginären Grössen. 305 



parallelen Coordinatenzug ersetzt, so ist die algebraische Summe aller dieser Strecken nach 

 dem Obigen , wofern 2 das gewöhnliche über alle solche Strec ken sich ausdehnende 

 Summenzeichen vorstellt. 



— v ( i 4«+t/" 7 r) — : .£ (я *f |y +' t« ; "*) oder auch 



ZZ 2"t«**+**r9 ZZ 2 + |y + 4.-*г). 



Obwohl nun für die verschiedenen Strecken oder Glieder des gebrochenen Zuges 



die Winkel « verschieden ausfallen, so gibt doch das Beziehungszeichen immer nur 



das Senkrechlsein der z auf der Ebene dieses Winkels , d. i. auf der Grundebene, zu er- 

 kennen, gerade so, als wenn « ZZ 0 wäre, für welchen Fall jenes Zeichen einfach in f über- 

 geht. Darum kann dasselbe für alle einzelnen Glieder durch dieses einfache Zeichen f 

 ersetzt werden, das somit das Senkrechtsein auf der Grundebene andeutet. Aus gleichem 

 Grunde kann man in е^°~х das Zeichen e~* & des Senkrechtseins von x auf der Ebene des 

 Winkels О , weil alle diese Senkrechten in der OX liegen, für & ZZ 0 in 1 übergehen ma- 

 chen, und das Zeichen |-> von z einfach wie oben in f vertauschen. Auf diese Weise 

 wird des gebrochenen Zu^es algebraischer Ausdruck 



2 (V a + f <'V)= 2 O^+^r) ZZ 2 О + ±y + fz) 



ZZ2x + ±2y + f2z. 

 Bezeichnet man den geraden Zug, der zwischen denselben Punkten wie jener ge- 

 brochene liegt, mit R und seine Projection auf die Axen der x, y, z mit X, Y, Z ; so ist 

 er auch dem rechtwinkligen Coordinatenzuge 



X + IY + fZ 



gleich, so wie auch jenem gebrochenen selbst. Daher dienen zur Vergleichung dieser Züge 

 die Gleichungen 



X -f- |F + fZ ZZ 2 (é^+^V) — 2 (e^+^^r-) — 2x -f |2> + f& 



ZZ r cos, a sin. ß -\- \,2 r sin. a ces. ß -\- f2 r sin. ß 

 ZZ 2 r cos. Я -|- 1,2 r sin. Я cos, & -\- \2 r sin. Я sin. &, 



oder die gewöhnlichen 



X ZZ 2x ZZ 2r ces. a cos. ß ~ 2r ces. Я 



Y — 2y ZZ 2r sin. a cos. ß ZZ 2r sin. Я cos. & 



Z ZZ 2z = 2r sin. ß ZZ 2r sin. Я sin. &, und 



R' = х- + p 4- z 2 . 



§. І23. 



Schluss. 



Andeutung der Anwendungen, 

 о о 



Die hier gefundenen Gleichungen sind bekanntlich die Grundlage der gesammteň 

 analytischen Geometrie im Räume, d. i. der rechnenden Untersuchungen der geraden, eben- 



