310 



JVilhelm Matzka, 



in mancherlei anders gestaltete Figuren, für unsere gegenwärtige Untersuchung in ein Paral- 

 lelogramm von — der Lage und Grösse nach — bestimmter Grundlinie oder Höhe verwandeln. 



Mithin lässt sich jede Figur , in Absicht auf Grösse und Aggregationsbeziehung, 

 durch ein eben so grosses und gegen die Grundebenc gleich geneigtes Parallelogramm 

 ersetzen, dessen Grundlinie eine angewiesene Länge und Lage haben soll. 



Bilden demnach mehrere der Reihe nach unter sich zusammenhängende ebene 

 Figuren a, b, c, d, .... ein so genanntes Figurennetz ; so kann man sie, eine nach der an- 

 deren, mit Beibehaltung der Winkel «, /?, у, d, .... ihrer Ebenen mit der Grundebene in 

 (paarweise) an einander hangende Parallelogramme, von gleicher, zur Grundebene paralleler 

 Grundlinie verwandeln, also das Figurennetz durch ein Netz oder eine Kette von Parallelo- 

 grammen ersetzen. 



Ist dann durch die erste und letzte Grundlinie dieser Parallelogrammkette ein 

 Parallelogramm r bestimmt, dessen Ebene mit der Grundebene den Winkel q macht; so 

 gilt dieses, wie aus dem vorigen Paragraphe leicht ersichtlich ist, der algebraischen Summe 

 aller jener Parallelogramme gleich. Ersetzt man endlich wieder diese letzteren Parallelo- 

 gramme durch jene Figuren a, b, c, d, . . ., welche in sie verwandelt worden waren, und 

 das Parallelogramm r durch eine ihm gleiche und so wie selbes gegen die Grundebene 

 geneigte Figur, so hat man die Gleichung 



eWr — e+ a a + e^b + e^c -f à â d -f 



Auf diese Weise vermag man demnach jedes Figurennetz , in Rücksicht auf seine 

 algebraische Geltung, in eine einzige äquivalente Figur, oder auch in ein anderes Figuren- 

 nelz zu verwandeln. Daher bestehen die in §. 99, 103 — 106 und §. 120 — 122 aufgestell- 

 ten Gleichungen auch noch, wenn man die lateinischen Buchstaben beliebige ebene Figuren 

 oder Flachen, und die ihnen zugehörigen gleichlautenden griechischen Buchstaben die Nei- 

 gungswinkel ihrer Ebenen gegen die Grundebene vorstellen lässt. 



g. 128. 



Andeutung der überraschenden Verwendbarkeit dieser einfachen Lehre. 



Diese wenigen und äusserst einfachen Sätze sind die Grundlage der analytisch 

 geometrischen Erforschung der Flächeninhalte der begrenzten ebenen und also auch krumm 

 flächigen Eiguren, besonders ihrer rechtwinkligen Projeciionen auf Ebenen. 



Sei, um den hierbei einzuhaltenden Gang kurz anzudeuten, r ein Parallelogramm, 

 x und y seine rechtwinkligen Pro jectionen auf zwei zu einer Seite — der Grundlinie — desselben 

 parallele gegen einander senkrechte Ebenen, die also wieder Parallelogramme von gleich langer 

 Grundlinie sind. Lässt man die beiden Projectionsebenen parallel zu sich selbst verrücken, 

 bis sie die beiden parallelen Grundlinien des Parallelogramms r in sich aufnehmen ; so hängen 

 die Parallelogramme r, x, y zusammen ; folglich, wenn <jp den Winkel der Ebene des pro 



