Realität der imaginären Grössen. 311 



jicirten Parallelogramms r mit der ersten und eigentlichen Projeclionsebene — den Pro- 

 jeclicnswinkd — vorstellt, ist, wie in §. 100, IV, 



e^ 9 r ~ x -j- \,y. 



Projieirt man nun eine geradlinig begrenzte, wie immer gestaltete Figur r winkel- 

 reeht auf eine Ebene P, mit der sie den Winkel у macht, und auf eine zur Durchschnillslinie 

 beider Ebenen parallele auf der P senkrechte Ebene Q, so dass dort x und hier у die 

 Projectionsfigur ist; so kann man die projicirte Figur r durch Parallelen zur erwähnten 

 Durchschnittslinie in Stücke zerschneiden, welche entweder selbst Parallelogramme sind, 

 oder wenn sie Dreiecke oder Trapeze sein sollten, dadurch leicht in Parallelogramme ver- 

 wandelt werden, dass man durch die Mitte einer mit der (parallelen) Grundlinie zusammen- 

 stossenden Seite zur selben Grundlinie Parallelen führt. Werden dann noch alle diese 

 Thcilungs- und Constructionslinien projicirt, so werden durch sie auch die Projeclionsfiguren 

 in Parallelogramme getheilt oder verwandelt. Ist nun Ar ein parallelogrammischer Thcil 

 von r, und sind /Sx, Ay seine Projectionen in die Ebenen P und Q, folglich wieder pa- 

 rallelogrammische Bestandteile von x und y ; so muss , weil der Winkel <p für jeden 

 solchen Theil Ar, so wie für die ganze Figur r, derselbe bleibt, vermöge Obigem 



c^Ar — Ах + 4,Ду 



sein. Summir man nun alle solchen Gleichungen, so ist, wenn man diess durch das übliche 

 Summirungszeichen andeutet, 



e^2Ar — ZAx + l^Ay; 

 daher, weil die Summe aller Theile das Ganze ist, hat man wieder wie vorher 



e^r ± X + \y. 



Krummlinig begrenzte Figuren endlich können als Grenzen veränderlicher gerad- 

 linig begrenzter angesehen werden; mithin gilt diese Gleichung ganz allgemein für die Pro- 

 jectionen x und у jeder beliebig begrenzten ebenen Figur r. 



Aus ihr findet man sogleich die bekannten Sätze für die Projectionen von Figuren 

 auf Ebenen x ZU r cos. (f, y ~~ r sin. q> 



und daraus die weniger bekannten 



x ces. cp -f- у sin. (p ~ r, X 7, -\- y 2 = ?'". 



Auch die weitere Ausführung dieses Gegenstandes, besonders auf die Projection 

 der Flächen in drei paarweis senkrechte Ebenen, so wie seine Anwendung auf die statischen 

 Momente der Kräfte, wozu vornehmlich die Arbeiten Cauchys in seinen älteren Exercices de 

 Mathématiques sich benützen lassen, muss dem Leser überlassen werden. 



$. 129. 



Vertretung der Figurennetze durch Polygonalen. 



Insofern bekanntlich Ebenen in Absicht auf ihr wechselseitiges Senkrecht- und Pa- 

 rallelsein, und überhaupt rücksichtlich ihrer Winkel, die sie mit einander bilden, ganz durch 



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