Realität der imaginären Grössen, 



g. 130. 



Schlussbetrachtung über die in Frage gestellte geometrische Construction des s. g. Imaginären. 



Das in §. 2 angeführte Programm stellt die alternative Forderung : 



1. „Nach sicheren Regeln die Constructionen anzugeben, die überall, wo sich die Geo- 

 meter der imaginären Grössen bedienen, verstecht liegen mögen; oder 



2. „wenn diess unmöglich, wenigstens die Bedingungen aufzustellen, unter denen 

 jene Grössen construirbar sind." 



Untersuchen wir demnach vor Allem den Sinn der ersten und eigentlichen Forderung, 

 und setzen wir, um hierüber ins Klare zu kommen, vorerst anstatt der darin erwähnten 

 Eigenschaft „imaginär" die ihr stammverwandte „negativ," aus der sie doch eigentlich her- 

 vorgeht; stellen wir daher die Forderung: 



„Nach sicheren Regeln die Constructionen anzugeben, die überall, wo sich die Geo- 

 meter der negativen Grössen bedienen, versteckt liegen mögen." 



Nun ist aber eine geometrische Construction die Zusammenstellung mehrerer Linien, 

 Flächen oder Körper, um dadurch andere Linien, Flächen oder Körper zu bestimmen, 

 welche gewissen gegebenen Bedingungen Genüge leisten (Knar , Anfangsgr. d. rein. Geom. 

 1829, Grätz, §. 529) ; oder sie ist die Anwendung von (räumlichen) Hilfsgrössen , um den 

 Erweis eines Lehrsatzes zu führen, oder die Auflösung einer Aufgabe zu erhalten, als: die 

 Ziehung gerader Linien, Verlängerung der gegebenen, Beschreibung krummer Linien, Le- 

 gung einer Ebene in Beziehung auf eine andere Ebene, oder auf eine gerade Linie, u. dgl. 

 (Klügcl, Math. Wörth. Artik. Construction). 



Allein dort, wo die Geometer einer Baumgrösse (einer begrenzten geraden oder 

 krummen Linie — einer Strecke oder einem Bogen — einem Winkel, einem Flächen- oder 

 Körperraume) und sofort auch ihrem Zahlwerthe, eine negative, d. h. eine einer gewissen 

 zu Grunde gelegten — positiven — Beziehung entgegengesetzte Beziehung beilegen oder 

 zuschreiben, liegt doch — vielleicht nirgends oder höchstens in manchen bloss künstlich 

 geschaffenen Fällen — eine eigentümliche Construction (Erzeugungsweise) jener negativ be- 

 ziehlichen Baumgrösse versteckt. Der Gegensatz der algebraischen Beziehungen zweier sol- 

 cher Baumgrössen, von welchen (Beziehungen) die eine positiv, die andere negativ genannt 

 wird, gründet sich nicht auf eine Verschiedenheit ihrer Erzeugung, sondern lediglich auf 

 eine Verschiedenheit (Entgegengesetztheit) anderweitiger Umstände, ihrer gegenseitigen Lage, 

 der Bichtung oder des Sinnes ihrer Erstreckung oder Ausdehnung, ja sogar auf eine Ver- 

 schiedenheit anderer mit ihnen verbundenen auf sie einwirkenden Grössen, mit denen man 

 beide jene entgegengesetzt beziehlichen Baumgrössen zusammenhält; folglich auf eine Ver- 

 schiedenheit der Ansicht, der Betrachtungsweise solcher Paare entgegengesetzt beziehlicher 

 Baumgrössen. 



