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Wilhelm Malzkay 



Beispiele der ersten Art. 



Zwei Strecken sind in der Regel zu einander entgegengesetzt beziehlich, die eine po- 

 sitiv, die andere negativ beziehlich, wenn sie auf einerlei gerader Linie von demselben 

 Punkte aus nach den beiden entgegengesetzten Richtungen abgeschnitten sind, wie etwa die 

 Cosinus der Winkel oder Kreisbogen auf dem Hauptdurchmesser, die Sinus auf dem Neben- 

 durchmesser, die Tangenten auf der Berührenden des Kreisbogens in seinem Anfangspunkte. 

 Aber manchmal erscheinen auch ein paar nicht entgegengesetzt gerichtete , sondern gegen 

 einander geneigte, sich schneidende Strecken algebraisch entgegengesetzt bezogen, als: die 

 Sehnen aus einerlei Punkt einer Curve an die Endpunkte in entgegengesetztem Sinne, diess 

 und jenseits dieses Punktes abgeschnittener (selbst wieder entgegengesetzt beziehlicher) Bo- 

 gen ; die Tangenten und Normalen der gegen die Abscissenaxe oder gegen den Pol concav 

 und convex gestellten Curven ; die Senkrechten aus einerlei Punkt auf Geraden in einerlei 

 Ebene (wie etwa auf Richtungen von Kräften, deren statische Momente in Bezug auf den 

 Punkt bestimmt werden). Und doch werden jede zwei solche entgegengesetzt beziehliche 

 Strecken auf einerlei Weise nach demselben Verfahren oder Gesetze construirt; die Cosinus 

 und Sinus durch (orthogonale) Projection des Endpunkfes des jedesmaligen Bogens- auf den 

 Haupt- und Nebendurchmesser; die Tangenten durch Verlängerung des Halbmessers dieses 

 Endpunktes bis zum Einschnitt in die Berührungslinie am Anfangspunkte, u. s. w. 



Beispiele der zweiten Art. 



Sehr oft zeigt sich auch eine und dieselbe nach der nämlichen Richtung genommene 

 Strecke, je nachdem man sie sonst ansieht, auf diesen oder jenen anderweitigen Gegenstand 

 bezieht, hald positiv bald negativ beziehlich. Dieselbe Strecke, die wir den positiven Cosi- 

 nus eines spitzigen Winkels nennen, ist genau in der nämlichen Richtung genommen, auch 

 der negative Cosinus seines stumpfen Nebenwinkels ; die nämliche und gleichgerichtete 

 Strecke, die wir den positiven Sinus eines hohlen Winkels nennen, ist auch der negative 

 Sinus seines erhobenen (ihn zum vollen Winkel ergänzenden) Winkels; dieselbe Strecke 

 ganz gleich gerichtet ist die positive Sécante eines Winkels und die negative Sécante des 

 um einen gestreckten (180°) grösseren oder kleineren Winkels. Dieselbe begrenzte gerade, 

 gebrochene, krumme oder gemischte Linie in entgegengesetztem Sinne, einmal von dem 

 einen Grenzpunkte gegen den andern hin, ein andermal von diesem gegen jenen zurück, 

 aufgefasst ist algebraisch entgegengesetzt, dort positiv, hier negativ beziehlich. Ein Glei- 

 ches gilt von jedem Winkel , wenn man ihn als durch entgegengesetzte Ablenkungen einer 

 beweglichen Richtung entstanden ansieht. — Jene Strecken, diese begrenzte Linie und der 

 Winkel, die bald positiv, bald negativ bezogen sind, können aber nur allein durch einerlei 

 Construction hervorgebracht werden. 



Aus dieser Untersuchung folgt daher entschieden , dass bei den negativ beziehlichen 

 Raumgrössen keineswegs jederzeit und nothwendig eine eigentümliche geometrische Ccnslruc- 



