322 Wilhelm Matzka, 



Macht man (n. 25.) den Winkel AOE ZZ a und EOF ZZ ß , so ist OE ZZ 0A at 

 OF — OEß = iOA a )ß. Aber es ist auch AOF ZZ AOE -f- EOF ZZ « + ß, daher auch 

 noch O F =: OA a + ß . Mithin ist (OA a ~) ß = OA a + ß , oder ІаЩ ZZ a a + ß . 



Erwägt man noch (n. 26), dass directive Winkel, die sich beliebig oft um 4 rechte 

 unterscheiden, einander gleichgelten; so muss a a ZZ « a _j_4„ sein, wenn n eine ganze Zahl 

 vorstellt, und (ja.. 27) jeder negative Winkel kann durch einen positiven ersetzt werden, 

 z. В. a i ZZ a i _|_ 4 ZZ « 3 . 



Ferner ist (n. 28) das Negativzeichen — gleichbedeutend mit dem Dreher +; 2. 

 Denn es ist — OA — ОС — 0A 2 ZZ 0A_ 2 und - OE ZZ OG = 0A H = OA a ± 2 . 



Directive Zahlen ergeben sich nun (n. 29), wenn man den Halbmesser OA zur Ein- 

 heit nimmt, da dann alle anderen Halbmesser dieses Kreises alle mit der Einheit gleichen, 

 aber verschieden gerichteten Zahlen vorstellen; und wenn man noch erwägt, dass es auf 

 jeder Richtung unzählig viele Zahlen gibt, die unter sich gleichgerichtet, aber verschieden 

 lang sind, weil dann sämmtliche Halbmesser der concentrischen Kreise die gesammten an- 

 deren Zahlen vorstellen. 



Directive Multiplication und Division (n. 38 — 49). Um eine Grösse durch eine di- 

 rective Zahl zu muhipliciren, muss man den Multiplicand, mittels der eigentlich so genann- 

 ten Multiplication und Division, und dann mittels der Drehung, gerade so behandeln, wie 



man die Einheit behandelt, um den Multiplicator darzustellen. Z. B. Um durch С— ^ zu 



multipliciren , muss man multipliciren mit 9 , dividiren durch 4 und drehen um |. Diess 

 kommt darauf hinaus, dass mit | multiplicirt und um § gedreht werde. 



Potenzen und Wurzeln. Nun übergeht Mcurey zu der wichtigsten Untersuchung. In 

 n. 51 beweist er, dass 



|c«V," =(O rn ist, г. в. (i 2 ) 2 = i 4 zz i , up 3 = i 4 = i ,(і з8 ) 3 = i 8 = 1. 



Umgekehrt findet er daher (n. 52, 53) 

 zur Gleichung ZZ 1 die Wurzelwerthe 1 ZZ OA, 1 2 = — 1 — ОС, 



zur X* ZZ 1 die Wurzelwerthe 1 — OA, 1 4 ZZ OF, 1 8 ZZ OG, 



3 3 



zur x* ZZ 1 „ „ 1 = OA, l t zz OB, 1, ZZ ОС, 1 3 -OD, 



und überhaupt zur Gleichung x n ZZ 1 die Wurzelwerthe l, 1 4 , 1 8 , 1 12 , ... l 4m . . . . l 4i „_tj. 



n n n n n 



Weiter diese Reise fortzusetzen ist unnütz, weil dieselben Glieder periodisch wieder- 

 kehren. Die Gleichung x n ZZ l hat also n Wurzelwerthe. „Da hat man demnach die 



sämmtlichen Wurzeln aus Eins, und die vergeblichen imaginären Grössen! 11 



Sonach erhält er (n. 54 — 57) die Wurzelwerthe der Gleichung x n ZZ \ a allgemein 



П 



ausgedrückt durch x ZZ l a _|_ 4r = 



