Realität der imaginären Grössen. 



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oder mit verwechselten Coordinaten 



y + 4,0 = f{x + u") . W + Ы'* y + 1°) = 0 



auch schon allein, ohne Beitritt einer zweiten Gleichung, eine Linie im Räume darstellen. 



% 144. 



Anwendung dieser hehre auf die Nachiveisung des Verhandens eins von Wurzelwert hen der 



höheren algebraischen Gleichungen, 



Die so eben erörterte Lehre von der Abbildung des stetigen Laufes der Verände- 

 rung zweier zusammenhängenden Veränderlichen findet eine hochwichtige Anwendung bei 

 dem geometrischen Erweise folgenden Fundamenlalsatzes der Lehre von den höheren algebrai- 

 schen Gleichungen, 



Jedi algebraische Gleichung mit Einer Unbekannten hat überhaupt wenigstens Einen com- 

 plexen — ablenkend beziehlichen — W urzclwerth. 



Ist nämlich y ZZ f(x) — A 0 x " + A-, x"~ l -(- A 2 x"~~~ 2 A n _ x x -\- A n ZZ 0 



die gegebene Gleichung, mögen ihre Coefficienten A Q , A x , A 2 , . . . A n , reell oder complex — 

 direct oder ablenkend beziehlich — sein: so muss es gewiss einen complexen — ablen- 

 kend beziehlichen — Werth für x geben, welcher der Bedingung f[x) ZZ 0 Genüge leistet. 



Man hat zu diesem Beweise die drei ersten so eben beschriebenen geometrischen 

 Darstellungsweisen des Zusammenhanges zweier stetigen Veränderlichen verwendet. Von die 

 sen Darstellungen sollen aber hier bloss die beiden ersteren als die einfacheren umständlich 

 aus einander gesetzt, die dritte zusammengesetztere hingegen nur kurz angedeutet werden. 



I. Benützung der ersten Durstcllungsweise der Functionen. 



Sie geschah zuerst von Dr. Wittstein in seinem bemerkenswerten Aufsatze in Gru- 

 nert's Archiv, 1845, 6. Bd., 3. Hft. , Nr. 35, Art. 5 und 6, Seite 231—234, um dem von 

 Cauchy gegebenen analytischen Beweise des fraglichen Fundamentalsatzes eine geometrische 

 Grundlage zu ertheilen. Nach unseren Ansichten , und mit einigen kleinen Berichtigungen 

 und Ergänzungen, gestaltet sich sein sehr einfacher Beweis folgender Massen. 



Stellt man die beiden Veränderlichen x und y ablenkend beziehlich dar, nament- 

 lich X — e^r und y — fix) — e^s ; so müssen, gleichwie y eine Function der Grundver- 

 änderlichen X ist, auch \p und s Functionen der Grundveränderlichen <jp und r sein, und 

 man wird darzuthun haben, dass s — 0 werden könne, welchen Werth auch \p annehmen 

 möge, weil dann nothwendig auch y — f[x) ZZ 0 werden muss. 



Da die Function f(x) eine ganze ist, so muss fürrZZ oo auch s~ oc ausfallen, und für 

 endliehe Werthe von r muss auch jener von s endlich bleiben. Weil ausserdem dieser der 

 Function y angehörige Modul s nur absolut (beziehungslos) sein kann, so muss s ý wenn 

 die ihn bestimmenden Grundveränderlichen qp und r alle zuständigen Werthe von q> — 0 

 bis ф ZZ 2 я und von r ZZ 0 bis r — oo nach und nach durchschreiten, wenigstens Einen 

 kleinsten Werth besitzen. 



