340 Wilhelm Matzka, 



Wenn sich daher beweisen lässt : 

 dass der zu was immer Jür Werth en der Grundveränderlichen <j> u nd r gehörige Modul s der 

 Function y, wofern er nicht selbst schon Null wäre, durch angemessene Änderung von qp und r 

 verringert werden kann : 



so folgt daraus unmittelbar, dass jener nothwendig vorhandene kleinste Werth des Modulus 

 s nur ZZ 0 sein kann, und dass demnach die auf ihn führenden Werthe von ф und r die 

 Gleichung s = 0 und somit x ZZ e^r die Gleichung y ZZ f(x) ZZ 0 befriedigen; wonach 

 der behauptete Grundlehrsatz bewiesen sein wird. 



Zum Beweise dieses Hilfssatzes werde angenommen, dass in der, dem Werthe der 

 Grundveränderlichen ф ZZ e^ 9 r entsprechenden Function y ZZ f[x) ZZ e^s der Modul s 

 nicht ZZ 0 sei; und dass, wenn x in x ZZ x -\- h übergeht, wo h ~z e^p ist, 



y' — f[x') — t№ s' erfolge. 

 Dann hat man nachzuweisen, dass Ѳ und p immer so gewählt werden können, dass 

 s' <C s ausfalle. 



Die Entwicklung von f{x') ZZ f(x -J- Ii) nach Potenzen von h gibt nun 



f =Л*') = Л*) + B x à + В* . + Bß + + hn ' 



wo die Coeffîcienten B 1 , B a , B 3 im Allgemeinen beliebig ablenkend beziehlich sein 



werden, wie 



B, = îf.Ù y В г zz Л а 



und einige aus ihnen auch = 0 sein können. Sei nun der erste nicht verschwindende 



solche Coefficient B m ZZ e^ m b m ; so hat man 



ßx') ZZ fix) + B m Ä» + B m+ ^+ 1 + . . . . + h\ 

 oder wenn man durchweg die ablenkend bezogenen Werthe einführt, 



e^'s ZZ е** + <Мш + "% тр " + і №ш + х +^+ T % +1 p m + 1 + . . . . + е »* р » ш 



Die algebraische Summe zur Rechten des Gleichheitszeichens lässt sich nun (ge- 

 mäss §. 93) als ein von einem Fixpunkte О (Fig. 43) ausgehender gebrochener Zug 



О AB CD . . . . IK darstellen, dessen Seiten der Reihe nach 



OA = s, AB zz b m p m , BC= b m + iP m + 1, IK ZZ p n 



sind, und mit der 6xen Grundrichtung OX die Winkel 



V, L + ™ Q > ßm+A + m + 1 Ѳ > пѲ 



machen, und dessen gleichgeltender Radiusvectorzug OK die Länge &' hat und den Nei- 

 gungswinkel (OK, OX) ZZ i// bildet. 



Damit aber, wie gefordert wird, s' < s ausfalle, kann man über die Grössen Ѳ und p 



wie folgt verfügen. 



1. Man mache, dass die erste Seite AB auf den Radiusveclor OA zurückfalle, folg- 

 lich dass ihr Winkel (AB, OX) ZZ (OA, OX) + n 



