Realität der imaginären Grössen. 341 



oder ß m + m ® — V + 77 



werde; dazu muss man den Winkel 



-|- 71 — ßm 



(1) Ѳ — wählen. 



4 ' m 



2. Man bemesse die Länge der Seite AB so , dass ihr Endpunkt В zwischen А 

 und О zu liegen komme; man mache also AB <; АО, oder b m p m <C i, folglich mache man 

 den Radiusvector 



m ç 



(2) p < V- . 



m 



3. Man verkürze den übrigen gebrochenen Zug Z?CZ) . . . . К dermassen, dass 

 seine absolute Länge kürzer als jene der ersten Seite AB sei, nämlich dass 

 ВС + CD + .... + JK < AB sei. 



Diess würde bereits erreicht sein, wenn von den Coefficienlen B t> B y B % , . . . B n _ t , 1, 

 alle bis auf den letzten 1, verschwunden wären, folglich 



m — n, B m ŽZ i, £ m = 1, ß m = 0 



und sofort Ѳ ZZ — - — , p <i\^ s wäre. 



£>еп?г da würde К mit 5 zusammenfallen , und sonach bereits OK — OB <C OA oder 

 í <s sein. 



Ist aber der erste nicht verschwindende Coefficient B m vor dem letzten, also m<^n, 



f. „m + 1 i i. n m + 2 _i_ i n n л m 



so muss °m + lř г °m 4- 2P IT • • • • пГ P <^ 



gemacht werden. 



Sei £ die kleinste der absoluten Zahlen ^^.j, ^wi+2j • ■ • • ^n—í> so muss, 

 wenn man diese alle in der letzten Ungleichung durch b ersetzt, weil auch p absolut ist, 

 um so mehr 



6p» + i + Ьр т + г + + bp n < b mP n 



sein. Theilt man hier durch p m und b, so wird 



.m 



i 2 i 3 i i n — m m 



P + P + P + • • • + P < -fr* 



b 



< 



folglich, wenn man diese geometrische Reihe summirt, 



n — m b 



p n - m — 1 _ 1 — p 



m 



Р £ — p : < 



1 p — i ť i — p ь 



Nimmt man, was jedenfalls zulässig ist, p < 1 an, so ist, weil n — m positiv und 



~1 ist, p n - m ~Žp, daher 1 ~ ^ 1, 



-> 'S« 1 — p -- > 



und sonach, wenn man jene Ungleichung durch diese theilt, p <C 



Abh. V. 6. 44 



