Wilhelm Matzka, 



Stellt man sich nun den Halbmesser r ~ OR von diesem hinreichend grossen 

 Werthe an stetig abnehmend vor; so wird die geschlungene Gurve sich stetig verändern, 

 bis zuletzt bei r Z 0 alle Punkte derselben in denjenigen Punkt U zusammenfallen, wel- 

 cher der geometrische Repräsentant des letzten Gliedes e^ a "a„ ist. Diese Curve, welche 

 anfangs wmal diesen Punkt U umschlingt, kann sich aber nicht auf ihn zusammenziehen, 

 ohne vorher wenigstens einmal und im Allgemeinen höchstens nmal, durch den Punkt О 

 gegangen zu sein. Da aber, wo ein Punkt der Curve mit dem Pole О zusammenfällt, sind 

 die ihm entsprechenden Werthe von <p und r, also auch von x, so, dass sie s, also auch у 

 zu Null machen. 



Es gibt daher im Allgemeinen höchstens n und insbesondere wenigstens Einen Wur- 

 zelwerth der algebraischen Gleichung у ~ 0; und wenn auch in einzelnen Fällen eine oder 

 mehrere Schlingen der Curve gleichzeitig im Punkte О verschwänden, so gäbe es dennoch 

 wenigstens Einen Wurzelwerth dieser Gleichung. 



§. 146. 



///. Anwendung der dritten Darstellungsweise der Functionen. 



Diese wurde zum Beweise des in Rede stehenden Grundlehrsatzes der Gleichungen 

 zuerst von Gauss in seiner Dissertations - Abhandlung : „Demonstratio nova Theorematis, 

 omnein functionem algebraicam rationalem unius variabilis in factores reales primi vel se- 

 cundi gradus resolvi posse. 4. Helmstadii. 1799," in einer Weise benützt, welche auch Dro- 

 bisch in §. 75 u. ff. а. а. O. deutlich erörtert hat. 



Die vorgelegte algebraische Gleichung wird complex dargestellt, nämlich 



y — y' + |y" —A x ' + = ?') + Ш#'> x ")> 



und in die beiden gleichgeltenden Gleichungen 



у — F{x\ x"), у" — , x") 

 zei spalten. Danach construirt man die diesen zwei Gleichungen entsprechenden Flächen 

 und sucht ihre erweisbar jederzeit möglichen Durchschnittslinien mit der Ebene der x oder 

 der x' und x" , deren einzelne Gleichungen F(x', x") ~ 0 und %(x, x") ~ 0 sind. Von 

 diesen Linien wird nun dargethan, dass sie auch einander durchschneiden müssen, daher für 

 ihre Durchschnittspunkte beide letzten Gleichungen mit einander gleichzeitig bestehen und 

 sofort auch у ~ 0 wird, folglich dieselben Durchschnittspunkte die Wurzelwerthe der ge- 

 gebenen Gleichung repräsentiren. 



