Realität der imaginären Grossen. 



.447 



verpflichtet zu erachten, ob .solcher Vorgang auch mit der Natur der von dem Buchstaben я; 

 vorgestellten Grösse vereinbarlich und sohin erklärbar sei. 



2" Frage. „Setzt man in der Gleichung у — y'zz-—-, '—( x — x ) 



ОС — ce 



X — : p -h q V~— ii y = p + q 



x" — p — q \Г — i, y" — p — q \T—i, 



so folgt ebenfalls y — p ' ZZ — (a? — />), 



und es wiederholt sich die vorige Frage " 



Verdeutlichung. Durch die Suhslitutionen findet man nämlich vorerst 

 x" — X ZZ — 2<7 У — i, у ' — У — — -У V — unt ^ danach die Gleichung 



У - P — q \Г-\ ZZ t (X - p — q К— О ZZ^{X - p) - q 

 daher sogleich y — p ZZ — [x — p). 



Bescheid. So wie hier die vorige Verirrung und mit ihr die vorige Frage wieder- 

 holt wird, so müssen wir auch im Wesentlichen unsere Antwort wiederholen. 



3 ,e Frage „Die Einführung von complexen Coordinalcn in die Gleichungen von 

 Curven führt auf reelle Gleichungen anderer Cur ven ; welches ist im Allgemeinen der geo- 

 metrische Zusammenhang derselben mit den ersteren?" 



Verdeutlichung und Entgegnung. Nehmen wir nur ebene Curven vor, da, wie leicht 

 zu erachten , bei doppelt gekrümmten die Schwierigkeiten sich wiederholen und verstärken 

 müssen. Sei also fix, y) ZZ 0 



die allgemeinste Gleichung einer ebenen Curve, und lassen wir 



x = x + x" V~— Ь у ZZ у + у" V — l 

 werden, so erhalten wir 



j{x + x" Y -U у + у" К-0 = о> 



oder da diese Function wieder die allgemeine complexe Form annimmt, 

 qp [x, x", y , y") -\- гр {ß, x", y, y") } r —\ ZZ 0, 



folglich 



(p (x, x", y', y") ZZ 0 , V ( x > x "> У> y") — °- 

 Diese beiden gleichzeitig bestehenden Gleichungen zwischen den vier Veränderlichen 

 x , x", y , y" gehören aber bekanntlich im Allgemeinen einer Fläche (!) an, und nur in be- 

 sonderen Fällen zweien Curven, oder auch bloss Einer Curve. 



Z. B. Die Gleichung der Kreislinie x~ -j- y 2 ZZ r 2 verwandelt sich durch diesen 

 Vorgang in 



p'i _|_ y'a _ (a ."2 _j_ y< 2) _|_ 2(x' x" + у у") У— 1 = г 2 

 und zerfällt also in die beiden Gleichungen 



(B'S 4- у'* _ ( ж "2 _|_ y"y — r 2 } x ' x " у' y' — 0, 



welche daher einer Fläche vierter Ordnung zugehören. 



