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Wilhelm Matzka, 



Die Gleichung der geraden Li ni ax -\- by — с dagegen verwandelt sich in 

 ax' -f b'f + [ax" + fy'O Ѵ^ — 1 = c, 

 und zerfällt daher in die beiden Gleichungen, 



ax' + by' — c, ax" + by" = 0, 

 welche zivcien Geraden angehören. 



Ausser dem hier aufgedeckten Fehlgriffe findet sich aber auch in dieser Frage wie- 

 der, wie in den beiden ersten, der nämliche Verstoss mit der unbedachten Einführung com- 

 plexer Coordinaten. 



4 te Frage. „Die durch die zwei Durchschnittspunkte zweier in einer Ebene enthaltenen 

 Kreise bestimmte Gerade ist auch dann noch reell, wenn der gegenseitige Abstand der 

 Mittelpunkte der Kreise grösser als die Summe ihrer Halbmesser ist, und also keine reellen 

 Durchschnittspunkte mehr gibt. Wie ist diess zu erklären ?" 



Erläuterung. Seien (Fig. 46) r, R die Halbmesser, und с die Centrallinie (Weite 

 zwischen den Mittelpunkten О und Q) zweier Kreislinien; und man nehme den Mittelpunkt О 

 der ersteren Kreislinie zum Anfang der Abscissen , die auf der Centrallinie gegen den an- 

 dern Mittelpunkt hin positiv gezählt werden sollen. Sind dann x, у die laufenden recht- 

 winkligen Coordinaten der einen und anderen Kreislinie, so sind die Gleichungen dieser 

 Linien bekanntlich 



ж 2 + y n - — г* (с— ж) 2 + у 2 = Л 2 . 



Beide verbunden sind eigentlich die Gleichungen des Durchschnittes der Kreislinien. 



Für ihn findet man durch Subtraction 2cx — с 2 ~ r 2 — R 2 



, V c 2 + r 2 — R 2 

 und hieraus x ZZ ' •, 



2c 



daher durch Substitution und Réduction 



У = ± \- c M{c + r + R) (c + r - R) (c + R - r) (R + r - c). 



Die erste dieser beiden letzten Gleichungen ist auch die Gleichung der durch die 

 beiden Durchschnittspunkte gehenden, auf die Abscissenaxe senkrechten Geraden (der den 

 beiden Kreisen gemeinsamen Sehne). 



Wird nun с >/?-)- r , so wird zwar у imaginär, x aber fällt noch immer reell 

 aus, und weist also nach, dass es auch da noch immer eine reelle Gerade durch die Durch- 

 schnittspunkte heider Kreislinien gibt, wo doch thatsächlich keine solchen Durchschnitts- 

 punkte mehr existiren. „Wie ist diess zu erklären?* 



c 2 I r 2 



Erklärung. Die Gleichung x =z , welche für alle Werth e von 



c, r, R, reell bleibt , gehört allerdings einer auf der ж-Ахе senkrechten und sonach jeder- 

 zeit bestimmbaren oder construirbaren, also reellen Geraden zu ; allein diese kann die 

 „durch die beiden Durchschnitlspunkle bestimmte" Gerade keineswegs auch dann noch ver- 

 bleiben, wenn diese Punkte gar nicht mehr existiren; da man ja zu solchem Bestimmen 

 gerade die Existenz dieser Punkte bedingt. Genauer ausgedrückt ist diese Gerade — wie 



