350 Wilhelm Matzka, 



wie hat man da ihren Zusammenhang mit einander und mit den übrigen, in ihrer Beziehung 

 nicht geänderten, Grössen zu deuten ? unter welchen Umständen oder Bedingungen hat eder 

 erhält eine selche Abänderung der Beziehungen einen lelitreti Silin ? 



A. Zuvörderst möge hier der am häufigsten in Anwendung kommende Fall hervor- 

 geheben werden, wo nur Eine durch lauter direct beziehliche allgemeine Grössen ausgedrückte 

 Unbekannte, für gewisse Werthe dieser Grössen, ablenkend beziehlich oder complex ausfällt. 



Da ersieht man leicht, dass, wenn die Natur dieser Unbekannten keinerlei Ablenkung, 

 sondern höchstens nur Gegensatz, ihrer Beziehung verträgt, der für sie sich darbietende 

 ablenkend beziehliche Rechnungsausdruck oder Werth erkennen lässt, dass bei jenen Wer- 

 then der bekannten Grössen diese Unbekannte geradehin unmöglich (selbst nicht einmal ima- 

 ginär, einbildlich) ist, mit ihnen ganz und gar nicht zusammen bestehen kann, und dass 

 demnach jene angegebenen Werthe selbst eigentlich mit einander unvereinbar sind, folglich 

 die vorliegende Rechnungsaufgabe schon in ihren Grundbedingungen, in ihrer Anlage un- 

 statthaft, widersinnig ist. 



Gerade so sind sogar bloss gebrochene Zahlen unmögliche Auflösungen, wenn die Un- 

 bekannte ihrer Natur nach nur ganz sein, oder nur gewisse zulässige Nenner haben kann; 

 irrationale dort, wo die Unbekannte nur rational sein darf, insbesondere unstetig ist ; nega- 

 tiv beziehliche da, wo die Unbekannte keine entgegengesetzte Beziehung gestattet; endlich 

 auch alle jene Werthe der Unbekannten, welche gewisse festgestellte Grenzen überschreiten. 

 Erläuterungen und Beispiele hiezu enthalten die Lehrbücher und Beispielsammlungen der 

 Algebra. 



Dort hingegen, wo die Natur der fraglichen Unbekannten eine ablenkende Beziehung 

 wirklich gestattet, und diese sich unschwer begreifen lässt, bietet die Deutung eines solchen 

 ablenkend beziehlichen Werthes der Unbekannten eben so wenig Schwierigkeit dar, als die 

 der entgegengesetzt beziehlichen. 



Zuweilen gestattet der algebraische Ausdruck der Unbekannten mehrere Werthe, 

 oder er ist mehrförmig, mehrdeutig. In einem solchen Falle prüft man jeden einzelnen 

 W r erth und behält nur die mit der Natur der Unbekannten vereinbarlichen als Auflösungen 

 der Aufgabe bei; indem man alle übrigen als unmöglich, unstatthaft verwirft. 



§. 149. 



Überzählige Auflösungen der Aufgaben. 



Hier nun wirft sich die höchst wichtige, zwar schon vielfältig angeregte, aber wie 

 es scheint (wenigstens in allen jenen vielen von mir gelesenen Lehrbüchern und Sammel- 

 werken) noch nicht gründlich und umfassend genug beantwortete Frage auf: 



Wie kommt es, dass eine Gleichung nebst der von der Aufgabe unmittelbar gefor- 

 derten und sie befriedigenden Auflösung gleichwohl auch noch andere überflüssige oder 

 überzählige Werthe der Unbekannten liefern kann, welche die Aufgabe gar nicht aaflösen, ihr 



