Realität der imaginären Grössen. 



35 I 



gar nicht zugehören, dass folglich die Gleichung mehr gibt, als man von ihr verlangt? Oder 

 wie ist das Erscheinen der, der vorgelegten Aufgahe, fremden JVurzchverlhe der ihr ange- 

 hörigen Gleichungen zu erklären? 



Folgende Aufklärung dürfte hoffentlich genügen. 



Bei der Auflösung jeglicher algebraischen Rechnungsaufgabe unterscheidet man be- 

 kanntlich drei Hauptacte : 



I. die Aufstellung der Bestimmungsgleichungen, 



II. die Auflösung dieser Gleichungen, 



III. die Erforschung oder Erörterung (Discussion) der Wurzelwerthe dieser Glei- 

 chungen, ob und wiefern sie die gestellte Aufgabe selbst auflösen. 



Betrachten wir nun diese Acte einzeln und umständlich. 



I. Aufstellung der Gleichungen. 



Wenn man sich anschickt, eine Rechnungsaufgabe mittels Gleichungen aufzulösen, 

 so pflegt man bekanntlich 



1. alle in ihr vorkommenden, gleichviel ob bekannten oder unbekannten, Grössen 

 von einerlei Ar* als mit der nämlichen, bald ausdrücklich angeführten, bald aber auch nur 

 stillschweigend in Gedanken zurückbehaltenen derartigen Messeinheit ausgemessen, durch 

 Zahlen, Zahlwerthe genannt, darzustellen. 



2. Von diesen Zahlen nun werden die unbekannten nothwendig stets durch Buchsta- 

 ben vorgestellt, von den bekannten aber bloss die allgemeinen; während die besonderen und 

 völlig bestimmten Zahlen, wie sonst überall und immer, durch Ziffern dargestellt werden, 

 oder auch zuweilen zur Verallgemeinerung einer Aufgabe oder ihrer Auflösung, selbst wie- 

 der durch gewisse sie stellvertretende Buchstaben. 



3. Sämmtliche diese in der Rechnung oder mathematischen Forschung zu betrach- 

 ten kommenden Zahlen werden unter sich nach denjenigen Rechnungsweisen in Gleichun- 

 gen — sellener in Ungleichungen*) — verbunden, welche der sprachliche Ausdruck oder 

 die Natur der Aufgabe vorzeichnet. Dann sind diese Gleichungen der algebraische Ausdruck 

 oder Ausspruch der vorgelegten Rechnungsaufgabe oder Forschung, gleichsam die in die 

 Sprache der Algebra übersetzte und mit den Schriftzeichen dieser Wissenschaft niederge- 

 schriebene Aufgabe selbst; sie machen die Rechnungsanlage der ganzen mathematischen 

 Forschung oder der Auflösung der Aufgabe aus. 



4. Von diesen Bestimmungsgleichungen der Aufgabe gelten nun offenbar feig ende , bis 

 jetzt sowohl in Lehrbüchern als auch in Streitschriften viel zu wenig beachtete, Bemerkungen: 



a) In allen solchen Gleichungen kommen lediglich nur Zahlen, und nie etwas Ande- 

 res vor; in ihnen befindet sich nichts von jenen Menschen, Thieren, Dukaten, Gulden, Tha- 



*) Wenn man will, kann man jede Ungleichung leicht auch in eine Gleichung umstalten, indem man dem 

 einen Theile derselben eutweder einen willkürlichen Summand oder einen wahlbaren Factor zur Aus- 

 gleichung zusetzt. So z. B. P~^>Q kann durch P ~ Q + S oder durch P ~ /Q ersetzt werden, wofern 

 S und f innerhalb gewisser Grenzen wählbar bleiben. 



40* 



