Realität der imaginären Grössen. 353 



f) Dcsswcgen kann eine solche Gleichung oder ein derlei System von Gleichungen, 

 worauf die Rechnungsaufgabe führt, nicht allein der algebraische Ausspruch von dieser 

 einen Aufgabe, sondern auch jener von unzählig vielen Aufgaben sein , in denen zwar die 

 Art der von den Zahlen vorgestellten Grössen, der Betrag, die Form, Beziehung, Veränder- 

 lichkeit derselben, mannigfaltig sich abändern kann, aber dennoch dieselben Zahlen auf 

 einerlei Weise unter sich in Rechnung verbunden werden. Unter diesen Aufgaben 

 kann es daher auch wieder unzählig viele gehen , bei denen alle allgemeinen, durch 

 Buchstaben vorgestellten Zahlen stetig veränderlieh, beliebig gross, wie immer geformt und 

 bezogen sind, und diese Aufgaben können daher allen übrigen, auf die nämlichen Gleichun- 

 gen hinleilenden als Gattungsvorbild (generelles Prototyp) dienen. 



§. 150. 



II. Auflösung der Gleichungen. 



Die für die Aufgabe aufgestellten Beslimniungsgleichungen, welche bloss Zahlen der 

 allgemeinsten Gattung enthalten, werden nun nach den bekannten mannigfaltigen Weisen, 

 als: Transformation, Elimination, u. s. f. aufgelöst, d. h. alle jene Zahlen gesucht, welche 

 für die Unbekannten gesetzt, beide Theile der Gleichungen gleich machen, oder den Glei- 

 chungen genügen. 



Dabei darf man jedoch nicht übersehen, dass durch manche solche Auflösungsweisen 

 theils Wurzelwerthe der ursprünglichen Gleichungen herausfallen , theils andere wieder zu- 

 wachsen können. Jenes Herausfallen von lVurzelwerth.cn lässt siih verhüten, wenn man die 

 vorkommenden Bechnungsausdrücke hinreichend vieldeutig nimmt, oder so vielerlei Glei- 

 chungen einführt, als solcher mehrdeutiger Formen sich ergeben. Dieses Einschleichen 

 fremder Wurzelwerthe in die später entstehenden Gleichungen dagegen ist nicht leicht zu 

 vermeiden, wenn anders die Endgleichungen und Endergebnisse in gefälliger gedrängter 

 Bechnungsform erscheinen sollen. So z. B. bietet die bekannte Summenform einer be' 



<7 n — 1 



grenzten geometrischen Grössenreihe s ~ a j-> 



wenn q zu suchen ist, als Gleichung q n — 1 — — (q — 1) ~ 0 auch den Wurzelwerth 



q ~ 1 dar, welcher der ursprünglichen Summenform 



s ~ a -j- aq -\- aq 2 -f- • • • • + aq"~ l 

 völlig fremd ist, und nur durch die Multiplication mit q — 1 eingeführt wurde. 



Man muss daher von den jeder Ausgangs- oder Bestimmungsgleichung eigenen 

 Wurzelwerthen die ihr fremden unterscheiden. Jene eigenen genügen nicht bloss den Aus- 

 gangsglcichungen, sondern auch den Schlussgleichungen ; die fremden dagegen, weil sie nur 

 durch die Umwandlungen der Ausgangsgleichungen nach und nach hineinkommen, befrie- 

 digen zwar die abgeleiteten und Endgleichungen , keineswegs aber die Stamm- oder Aus 

 gangsgleichungen. 



