354 



Wilhelm Matika, 



§ 151. 



ITI. Discussion der W urzelwerthe der Bestimmungsglcichungen. 



Hat man die Bestimmungsgleichungen , auf welche eine Aufgabe geführt hatte, auf- 

 gelöst, so muss man 



1. sämmtliche , diesen Gleichungen , fremde Wurzelwerthe von jeder weiteren Unter- 

 suchung ausschlicsscn ; weil selbe, da sie schon diese Gleichungen nicht befriedigen, noch 

 weniger die Aufgabe selbst auflösen können. Somit bleiben bloss die den ursprünglichen 

 Bestimmungsgleichungen eigentümlichen IVurzelwerthe zu erforschen, ob einige und welche 

 aus ihnen der gestellten Aufgabe selbst genügen. 



2. Dabei gelten aber, als allgemein leitende Grundgedanken, die folgenden 

 Wahrheilen : 



a) Die Auflösung der Bestimmungsgleichungen einerseits und die Auflösung der eigent- 

 lichen, auf sie führenden Aufgaben andererseits sind str engstens von einander zu unter- 

 scheiden; so zwar, dass die Auflösungen der Bestimmungsgleichungen als Gattungen, jene 

 der Aufgaben als Arten anzuerkennen sind. 



b) Was in die Art gehört, das muss auch in die Gattung gehören, nicht aber um- 

 gekehrt. Darum müssen die Außösungen der Aufgabe , wenn sie sonst wirklich existiren, 

 sich unter den gesammten Außösungen der Bcstimmungsgleichungen vorf.nden, wenn andere 

 keine von diesen ausgelassen oder weggeworfen worden ist ; allein keineswegs muss jede Auf- 

 lösung der Bestimmungsgleichungen auch schon eine Auflösung der Aufgabe sein! Jede Auflö- 

 sung der Aufgabe muss nämlich auch eine Auflösung der Gleichungen sein, nicht aber um- 

 gekehrt. Was den Gleichungen nicht genügt, kann auch der Aufgabe nicht genügen, allein 

 gegentheilig kann Manches den Gleichungen genügen, was der Aufgabe doch nicht genügt, 

 oder eine Auflösung der Gleichung kann allerdings, muss aber nicht auch schon eine Auf- 

 lösung der Aufgabe sein; ja sie ist es manchmal in der That nicht. 



Die Gleichungen sind nämlich nicht immer die ganze Aufgabe, da — wie bereits oben 

 (§. 149, 4, c) erwähnt — manche Forderungen, Nebenbedingungen oder Einschränkungen (Be- 

 strictionen) der Aufgabe sich nicht in Gleichungen bringen lassen. 



3. Was da statt findet, ob ein in Untersuchung genommener Wurzelwerth der Glei- 

 chungen auch die Aufgabe auflöst oder nicht , muss die Natur der gesuchten Grösse ent- 

 scheiden. Darum müssen nach Umständen bald die unganzen, bald die irrationalen, bald 

 die zu grossen oder zu kleinen, oft die negativ beziehlichen und häufig die ablenkend be- 

 ziehlichen (imaginären und complexen) Wurzelwerthe der Gleichungen, als Nichtauflösungen 

 der auf diese Gleichungen führenden Aufgabe, verworfen werden. 



4. Bei dieser Untersuchung kann es sich nun ereignen , dass von allen gefundenen 

 Wurzelwerthen der Bestimmungsgleichungen nur einige oder nur einer, oder wohl auch 

 nicht ein einziger allen Beschränkungen und Anforderungen der Aufgabe genügt. Im letz- 

 ten Falle ist die Aufgabe ganz und gar unmöglich, in ihren Bedingnissen widersprechend; 



