Realität der imaginären Grössen. 



.455 



gleichviel, wesswegen die Wurzelwerthc ihr nicht Genüge leisten. Sonach kann eine Aufgabe 

 unauflösbar sein, obwohl die ihr zugehörigen Gleichungen nirgends etwas Ungereimtes zu 

 erkennen geben und keine imaginären, sondern nur reelle Wurzelwcrthe liefern. 



Schlussfclgc. Indem man demnach die Gleichungen einer Aufgabe nach den allge- 

 meinsten algebraisschen Rechnungsvorgängen auflöst, löst man eigentlich keine Grössenglei- 

 chungen, sondern blosse Zahlcngleichungen auf; folglich wird auch nicht die eigentlich vor- 

 gelegte Grössenaufgabe , sondern eine so umfassende Zahlenaufgabe aufgelöst, dass alle in 

 ihren Gleichungen vorkommenden, durch Buchstaben bezeichneten, Zahlwerthe von Grössen 

 keineswegs nur die betrachteten, sondern aufs allgemeinste genommene Grössen vorstel- 

 len, z. B. ablenkende Strecken oder Flächen. — Diese Bemerkung entkräftet zugleich den 

 triftigen Einwurf, wienach man sich's doch erlauben dürfe, mit den Grössen einer Gleichung 

 nach den gewöhnlichen Gesetzen zu rechnen, wenn gleich die gesuchten Grössen in Wirk- 

 lichkeit unmöglich oder imaginär sind. 



§. 153. 



Auslegung der den Aufgaben nicht genügenden Wurzelwerthc der Bestimmungsgleichungen. 



Ein eigentümliches Interesse gewährt das Bestreben, den einer Aufgabe nicht Ge- 

 nüge leistenden und darum zu beseitigenden Wurzelwerthen ihrer Bestimmungsgleichungen 

 dessenungeachtet eine Deutung zu verschaffen. Derlei Auslegungsversuche haben zu man- 

 cherlei Missgriffen und Streitigkeiten Anlass gegeben. Der einzige richtige Vorgang ist die 

 Überordnung einer neuen Aufgabe über die gegebene eigentlich aufzulösende, oder die 

 Unterordnung (Subsumtion) der vorgelegten Aufgabe als einer engeren eingeschränkteren 

 unter eine weitere umfassendere, die man sich auszudenken hat. Man ersinnt oder schafft 

 nämlich, wo möglich, zu der vorgelegten Aufgabe eine allgemeinere, ausgebreitetere, in 

 der jene selbst als einzelner (individueller) oder besonderer (specieller , particulärer) Fall 

 mit einbegriffen ist. 



Mittel dazu ist überhaupt; Verallgemeinerung (Généralisation) oder Erweiterung man- 

 cher in der aufzulösenden Aufgabe vorkommenden Begriffe, Merkmale oder Bedingungen, 

 in der Art, dass die neue umfassendere Aufgabe manche oder alle diejenigen Wurzelwerth e 

 der, auch für sie noch immer giltigen, Bestimmungsgleichungen, als ihre Auflösungen, auf- 

 nehmen kann, welche die ursprünglich gegebene beschränkte Aufgabe schon verwerfen musste. 



Hier insbesondere soll dieses Verfahren bloss in der Absicht angewendet werden, um 

 den bei der Auflösung von Aufgaben sich ergebenden complexen — ablenkend beziehlichen — 

 Wurzelwerthen ihrer Bestimmungsgleichungen Deutung und Geltung zu verschaffen. 



Erläuterndes Beispiel. 



Wählen wir zur Verdeutlichung dieses Vorganges die letzte der obigen Fragen 

 (in §. 147). 



