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SI on tire la perpendiculaire P S à l'écîiptique, la 

 ligne droite R S , indique le Heu héliocentrique ou 

 le lieu réduit à l'écîiptique. 



Le lieu géocentrique eft ce point de l'écîiptique , 

 auquel on rapporte une planète vue de la terre. 



Voye{ GÉOCENTRIQUE. 



Ainfi N E O R repréfentant l'écîiptique , &c. T 3 

 Adonnera le lieu géocentrique. Sur le calcul du lieu 

 d'une planète, voye^ Planète, Équation, &c. 

 Chambers. (O) 



Lieu géométrique, fignifie une ligne par la- 

 quelle fe réfout un problème géométrique. Voye^ 

 Problème & Géométrique. 



Un lieu eft une ligne dont chaque point peut éga- 

 lement réfoudre un problème indéterminé. S'il ne 

 faut qu'une droite pour conftruire l'équation du pro- 

 blème , le lieu s'appelle alors lieu cl la ligne droite ; s'il 

 ne faut qu'un cercle , lieu au cercle ; s'il ne faut 

 qu'une parabole , lieu à la parabole ; s'il ne faut 

 qu'une ellipfe, lieu à fellipfe, 6c ainfi des autres , 

 &c. 



Les anciens nommoient lieux plans , les lieux des 

 équations qui fe réduifent à des droites ou à des 

 cercles ; & lieux folides ceux qui font ou des para- 

 boles , ou des hyperboles, oudesellipfes. 



M. Wolf donne une autre définition des lieux , 6c 

 il les range en dmSérens ordres , félon le nombre de 

 dimenfions auxquelles la quantité indéterminée s'é- 

 lève dans l'équation. Ainfi. ce fera un lieu du pre- 

 mier ordre , fi l'équation eft x = ^ ; un lieu du fé- 

 cond ordre , fi c'eftj 2 = fl^,ouj 2 = d 1 - x 2 , &c. 

 un lieu du troifieme, fi on a pour équationjy 3 = a 1 x, 

 ou y 3 =zax 2 — x3. . . &c. 



Pour mieux concevoir la nature des lieux géomé- 

 triques , fuppofons deux droites inconnues 6c va- 

 riables AP , P M (Pl. tfanalyfe^fig. 25,30), qui 

 faffent entre elles un angle donné quelconque. A P 

 M, dont nous nommerons l'une , par exemple A P, 

 qui a fon origine fixe en A, 6c qui s'étend indéfini- 

 ment dans une direction donnée , x , 6c l'autre P M, 

 qui change continuellement de pofition 6c de gran- 

 deur , mais qui refte toujours parallèle à elle-mê- 

 me^. Suppofons déplus une équation qui ne con- 

 tienne d'inconnues que ces deux quantités x,y, mê- 

 lées avec des quantités connues , & qui exprime le 

 rapport de la variable A P, x, à la valeur de P M, 

 ou de Yy correfpondante ; enfin imaginons qu'à l'ex- 

 trémité de chaque valeur poffible de x , on ait tracé 

 en effet Yy correfpondante que cette équation déter- 

 mine ; la ligne droite ou courbe qui parlera par les 

 extrémités de toutes les jy ainfi tracées , ou par tous 

 les points M, fera nommée en général lieu géomé- 

 trique , 6c lieu de l'équation propofée en particulier. 



Toutes les équations dont les lieux font du premier 

 ordre peuvent fe réduire à quelqu'une des quatre 

 formules fuivantes : i° . y — ^ • x°. y — b ~-\-c : 



y = ~ — c: 4°.y— Crr^'i ^ ans l e % i eîles la quan- 

 tité inconnue y eft fuppofée toujours avoir été dé- 

 livrée de fractions , la fraction qui multiplie l'autre 

 inconnue x eft fuppofée réduite à cette expreflion 



- ; 6c tous les autres termes font comme cenfés ré- 



a 



puits à celui + c. Le lieu de la première formule eft 

 d'abord déterminé , puifqu'il eft évident que c'eft 

 une droite qui coupe l'axe dans fon origine A , 6c 

 qui fait avec lui un angle tel que les deux inconnues 

 X) y foient toujours entre elles comme a. eft à b. Or 

 fuppofant ce premier lieu connu , il faudra pour trou- 

 ver celui de la féconde formule y c , pren- 

 dre d'abord fur la ligne A P (fig. 3 1. ) , une partie 

 A B = a 9 6c tirer B E — b 6c A D — c parallèles à 

 P M. Vous tirerez enfuite du même côté que A P 6c 



Ivers E la ligne A E d'une longueur indéfinie , 6c la. 

 ligne droite & indéfinie D M parallèle à A E ; je 

 dis que la ligne D M eft le lieu de l'équation , ou 

 la formule que nous voulions conftruire. Car fi par 

 un point quelconque M de cette ligne , on tire M P 

 parallèle à A Q , les triangles A B E ,A P F t feront 

 femblables ; ce qui donnera AB ,a,B E } b : : AP 9 

 x. P F— h * , 6c par conféquent PU (y) = PF 



( ~T ) + FM (c). Si on fait é a= o , c'eft- à-dire fi les 

 points DA tombent l'un fur l'autre, 6cD Mixxt 

 A F, la ligne A F fera alors le lieu de l'équation 



y — — v . Pour trouver le lieu de la troifieme formule, 



il faudra s'y prendre de cette forte : vous ferez A B 

 = a (fig. 3 2.) 6c vous tirerez les droites B E = b , 

 A D z=. c parallèles à P M, l'une de l'un des côtés de 

 A P , 6c l'autre de l'autre côté : par les points A^ 

 E , vous tirerez la droite A E , que vous prolonge- 

 rez indéfiniment vers E , 6c par le point D la ligne 

 D i¥, parallèle à A E , je dis que la droite indéfi- 

 nie G M fera le lieu cherché. Car nous aurons toû> 



jours = - FM (c). Enfin 



pour trouver le lieu de la quatrième formule , fur 

 A P ÇJig. 33.) , vous prendrez A B =a , & vous 

 tirerez B E =: b , 6c A D = c , l'une d'un des côtés 

 de A P , 6c l'autre de l'autre côté. De plus, par les 

 points A , E , vous tirerez A E , que vous prolon- 

 gerez indéfiniment vers E , 6c par le point D la li- 

 gne DM parallèle kAE, je dis que D G fera le 

 lieu cherché. Car fi par un de les points quelcon- 

 ques M on tire la ligne M P parallèle à A Q , on 

 aura toiïjours P M (y) == F M ( c ) - P F (tïy 



Il s'enfuit de là qu'il n'y a de lieu du premier de- 

 gré que les feules lignes droites ; ce qui peut fe voir 

 facilement , puifque toutes les équations poftîbies 

 du premier degré fe réduifent à l'une des formules 

 précédentes. 



Tous les lieux du fécond degré ne peuvent être 

 que des feclions coniques, favoir la parabole , l'el- 

 lipfe ou le cercle , qui eft une efpece d'ellipfe , 

 & l'hyperbole , qui dans certains cas devient équi- 

 latere: fi on fuppofe donc donnée une équation in- 

 déterminée, dont le lieu {oit du fécond degré, 6c 

 qu'on demande de décrire la feefion conique qui en 

 eft le lieu ; il faudra commencer par confîdérer une 

 parabole, une ellipfe & une hyperbole quelconque, 

 en la rapportant à des droites ou des coordonnées, 

 telles que l'équation qui en exprimera la nature , 

 fe trouve être par là la plus compofée 6c la plus gé- 

 nérale qu'il foit pofïible. Ces équations les plus' gé- 

 nérales , ou ces formules des trois feclions coni- 

 ques 6c de leurs fubdivifions étant découvertes, 6c 

 en ayant examiné les caractères , il fera aifé de con- 

 clure à laquelle d'entr'elles fe rapportera l'équation 

 propofée , c'eft-à-dire quelle fedion conique cette 

 même équation aura pour lieu. Il ne s'agira plus 

 après cela que de comparer tous les termes de l'é- 

 quation propofée avec ceux de l'équation générale 

 du lieu , auquel on aura trouvé que cette équation 

 fe rapporte , cela déterminera les coefficiens de cette 

 équation générale , ou ce qui eft la même chofe , les 

 droites qui doivent être données de proportion & de 

 grandeur pour décrire le lieu ; 6c ces coefficiens ou 

 ces droites étant une fois déterminées, on décrira 

 facilement le lieu , par les moyens que les traités des 

 feefions coniques fourniffent, 



Par exemple que AP,x 9 P M,y foient deux droi- 

 tes inconnues & variables (fg. 34) ; 6c que m 7 p 9 r, 

 /, foient des droites données ; fur la ligne A P , pre- 

 nez la portion A B = m, 6c tirez B E =n, A D 

 =: r; & par le point A , tirez A E = <?, 6c par le 

 point D , la ligne indéfinie D G parallelle à A E ^ 



