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fur D G , prenez D C — s 9 Si prenant C G pour 

 diamètre , les ordonnées parallèles a P M 9 &la ligne 

 C II = p pour paramètre , décrivez la parabole C 

 M, Se elle fera le lieu de la formule générale fui- 

 van te. 



y y- 



x y A x x = o. 



— zryA- 



e p 

 X 



-\- r r 

 A-ps. 



car fî d'un de fes points quelconques M on tire l'or- 

 donnée P M, les triangles A B E , A P F, feront 

 femblables, & par conféquent 



AB{m):A E (e) A P (x) ; : A F ou D G =z e * 

 & A B (m): B E (») : : A P (x): P F '= B J! , & 

 par conféquent G M ou P M - P F- F G — y — 

 lf-r,& CGouDG-DC= e —- s . Mais par la 



m m 



nature de la parabole G M % = C G xCHjSc cette 

 dernière équation deviendra la formule générale elle- 

 même,fi on y fubftitue à la place des droites qui font 

 employées , leurs valeurs marquées ci-deffus. 



Cette équation eft la plus générale qui puùTe ap- 

 partenir à la parabole , puifqu'elle renferme i°. le 

 quarré de chacune des inconnues x, y ; 2°. le pro- 

 duit xy de l'une par l'autre; 3 0 . les inconnues li- 

 néaires x y y y Se un terme tout confiant. Une équa- 

 tion du fécond degré , ou les indéterminées x ,y , 

 fe trouvent mêlées , ne fauroit contenir un plus 

 grand nombre de termes. 



Par le point fixe A , tirez la droite indéfinie A Q , 

 {fig.$5) parallèle à P M ; prenez A B = m , tirez 

 B E =zn parallèle à A P , & par les points détermi- 

 nés A E y la droite A E = e ; fur A P, prenez A D 

 = r , tirez la droite indéfinie D G , parallèle kAE, 

 & prenez la portion D C—s. Enfin prenant pour 

 diamètre C G , Se fuppofant les ordonnées parallèles 

 kAP, &pour paramètre la ligne C H=p , décri- 

 vez une parabole CM ; cette parabole feroit le lieu 

 de cette féconde équation ou formule. 



xx — — — y x -f 



yy 



= o 



— irx— e Jy 



-\- r r 

 Arps. 



car fi d'un point quelconque Mon tire la droite M Q 

 parallèle kAP, on aura A B (» : A E (e) : : A Q 

 ouPM(y): A F ou D G = Se A B (»: BE 

 (n):: AQ(y): Q F— Se par conféquent G M 

 ou QM-QF-FG =x- n -^-r ;SlC G ouDG 

 ~ D C— — s : & ainfi par la propriété de la pa- 

 rabole , vous trouverez encore la féconde des équa- 

 tions générales ou des formules précédentes ; & 

 Vous vous y prendrez de la même forte , pour trou- 

 ver les équations générales ou les formules des autres 

 feclions coniques. 



Si on demande maintenant de décrire la parabole 

 qui doit être le lieu de l'équation fuivante , que nous 

 luppoferons donnée y y — zay— bxA r cc = o, 

 comme y y fe trouve ici fans fraclion , de même que 

 dans notre première formule , il vaudra mieux com- 

 parer la propofée avec cette première formule qu'a- 

 vec l'autre ; Se d'abord puifque le re&angle xy ne 

 fe trouve point dans la propofée , ou qu'il peut y 

 être cenfé multiplié par o , nous en conclurons que 

 h fraction — doit être =a 0 > & par conféquent aufii 



qu'on doit avoir n , ou B E = o ; de forte que les 

 points B 9 E y doivent être co-incidens , ou que la 

 droite A E doit tomber fur A B Se lui être égale , 

 ceft-à-dire que m—e: détruifant donc dans la for- 

 mule tous les termes affectés de - ou de n , Se fub- 



m f 



ftituant par-tout m à la place de e , elle fe changera 

 en y y — 2 ry — p x -f r r -{- p s = o , & comparant 

 encore les ternies correfpondans — 2 ry , & — 2, ay y 

 — px & — b x , en^n rrArps, Se c c, nous aurons 

 rz= a,p — b , &en fubftituant ces valeurs dans la 

 dernière équation de comparaifon , aaAr b s = c c , 



ou bien s == cc ~ aa , qui par conféquent fera une quan- 

 tité négative , fî a eft plus grand que c, comme nous 

 le fuppofons ici. Il ne ferviroit de rien de comparer 

 les deux premiers termes , parce qu'étant les mêmes 

 des deux côtés, favoir jy, cette comparaifon ne 

 pourroit rien faire découvrir. 



Or les valeurs àem,n,ryp,s, ayant été ainfî 

 trouvées , on conftruira facilement le lieu cherché 

 par les moyens qui nous ont fervi à la conftruftion 

 de la formule & de la manière fuivante , comme 

 B E (n) eft = o (fig. 3 (f.) & que les points B , E , 

 comeident , ou que A E tombe fur A P , il faudra 

 par cette raifon tirer du point A la droite A D ( r ) 

 parallèle h P M & = a , Se la. droite D G parallèle 

 kAP, dans laquelle vous marquerez la droite D C 

 (5) = aa ~ cc ^ laquelle doit être prife au-delà de l'o- 

 rigine , dans un fens oppofé à D G ou A P , parce 

 que la fraction aa ~ ce e ft négative par la fuppontion,' 



Enfuite regardant D C comme diamètre , prenant 

 des ordonnées parallèles à P M, & la droite C H 

 (p} — ^ pour paramètre ; vous décrirez une para- 

 bole , je dis qu'elle fera le lieu de l'équation don- 

 née , & il eft en effet aifé de le prouver. Si c'eût été 

 le quarré x x qui fe fût trouvé tout-d'un-coup fans 

 fraâtion dans la propofée , il auroit été alors plus 

 naturel de fe fervir de la féconde formule. On voit 

 au refte qu'au moyen d'une divifion fort facile , on 

 peut délivrer des fractions tel des deuxquarrés qu'on 

 voudra; & il faudroit commencer par cette divifion , 

 fi l'on voyoit que la comparaifon des termes en dût 

 devenir plus fimple. 



Voilà une idée de la méthode de conftruire les 

 lieux des équations lorfqu'ils doivent être des fec- 

 tions coniques , ou ce qui eft la même chofe , lorf- 

 que les équations ne parlent pas le fécond degré : car 

 on doit fentir que les lieux à l'ellipfe & à l'hyper- 

 bole , doivent fe déterminer par une méthode fem- 

 blable. 



Mais une pareille équation étant donnée,au lieu de 

 demander comme tout-à-l'heure , d'en conftruire le 

 Heu , fi on fe contente de demander quelle doit être 

 l'efpece de la fe&ion conique qui en eft le lieu, fi c'eft 

 une parabole , une ellipfe ou même un cercle , un 

 hyperbole équilatere , ou non équilatere , il faudroit 

 pour en juger commencer par faire paffer d'un même 

 côté tous les termes de l'équation , de façon qu'il 

 reftât zéro de l'autre côté ; & cela étant fait , il pour- 

 roit fe préfenter deux cas difFérens, 



Premier cas ; fuppofons que le rectangle x y y ne 

 fe trouve point dans l'équation ; alors i°. s'il n'y a 

 qu'un des deux quarrésyjy , ou x x f le //ewfera une 

 parabole. 2°. Si les deux quarrés s'y trouvent tout^- 

 à-la-fois & avec le même ligne , le lieu fera une el- 

 lipfe y & en particulier un cercle , lorfque ni l'un ni 

 l'autre des deux quarrés n'aura de coefficient, ou (û 

 on n'a voit point réduit l'un d'eux à n'en point avoir), 

 lorfqu'ils auront les mêmes coefficiens , & que de 

 plus l'angle des coordonnéesfera droit. 3°.fi les deux 

 quarrés xx } & y y fe trouvent dans l'équation , Se 

 avec des lignes difFérens, le lieu fera une hyperbole 



