rkehi aufli d'être citées. Voyez Fhifloire des Mathé- 

 matiques de M. Montucla , tom. II. part. IV. Liv. I. 



Théorie des logarithmes. Soit propofé de trouver ie 

 logarithme d'un nombre quelconque , & de conftruire 

 un canon ou une table pour les logarithmes naturels. 

 i°; Comme i, 10 , 100 > iooo , ioooo, &c. confti- 

 tuent une progreffion géométrique , leurs loga- 

 rithmes peuvent donc être pris dans une progreffion 

 arithmétique à volonté ; or pour pouvoir exprimer 

 par des fractions décimales les logarithmes de tous 

 les nombres intermédiaires, nous prendrons la pro- 

 greffion o. ooooooo , i. ooooooo , 2. ooooooo, 

 3. ooooooo , 4 ooooooo, &c. de manière que le pre- 

 mier de ces nombres ou zéro , foit le logarithme de 

 1 , que le fécond foit le logarithme de 10, le troifie- 

 irie celui de 100 , & ainfi de fuite. Foye{ DÉCIMAL. 

 2 0 . Il eft évident qu'on ne pourra point trouver des 

 logarithmes exacts pour les nombres qui ne font point 

 compris dans la férié géométrique ci-deffus ,1,10, 

 100, &c. mais on pourra en avoir de fi approchans 

 de la vérité , que dans l'ufage ils feront auffi bons 

 que s'ils étoient exacts. Pour rendre ceci fenlible , 

 fuppofons qu'on demande le logarithme du nombre 9 ; 

 j'introduirai entre 1. ooooooo & 10. ooooooo, un 

 moyen proportionnel géométrique , & cherchant 

 entre leurs logarithmes o. 00000000 & 1. 00000000, 

 lin moyen proportionnel arithmétique, celui-ci fera 

 évidemment le logarithme de l'autre , c'eft-à-dire 

 d'un nombre qui furpaffera 3 d'un peu plus que 

 " ■ l0 Hlll H , & par conféquent qui fera encore fort 

 éloigné de 9. Je chercherai donc entre 3 — 

 & 10 , un autre moyen proportionnel géométrique , 

 qui approchera par conféquent plus de 9 que le pre- 

 mier; & entre 10 & ce nouveau moyen propor- 

 tionnel, j'en chercherai encore un troifieme , 6c 

 ainfi de fuite , jufqu'à ce que j'en trouve deux con- 

 sécutifs , dont l'un foit immédiatement au-derïïis , 

 & l'autre immédiatement au-defibus de 9 , & cher- 

 chant un moyen proportionnel entre ces deux nom- 

 bres là , & puis encore un autre entre celui-là & 

 celui des deux derniers qui aura 9 entre lui & le 

 précédent, on parviendra enfin à un moyen propor- 

 tionnel qui fera égal 9 ^ftffft* lequel n'étant pas 

 éloigné de 9 d'une dix millionième partie d'unité , 

 fon logarithme peut , fans aucune erreur fenlible , 

 être pris pour le logarithme de 9 même. Je reviens 

 donc à mes moyens proportionnels géométriques , 

 & prenant l'un après l'autre , le logarithme de cha- 

 cun d'eux par l'introduction d'autant de moyens 

 proportionnels arithmétiques , je trouve enfin que 

 o. 9542425 eft le logarithme du dernier moyen pro- 

 portionnel géométrique ; & j'en conclus que ce nom- 

 bre peut être pris fans erreur fenlible , pour le loga- 

 rithme de 9 , ou qu'il en approche extrêmement. 



3°. Si on trouve de même des moyens propor- 

 tionnels entre 1. ooooooo & 3. 1622777, que nous 

 avons vû plus haut être le moyen proportionnel 

 entre 1. ooooooo & 10. ooooooo , & qu'on cherche 

 en même tems le logarithme de chacun d'eux, on 

 parviendra à la fin à un logarithme très-approchant 

 de celui de 2 , & ainfi des autres. 4 0 . Il n'eft cepen- 

 dant pas néceffaire de prendre tant de peine pour 

 trouver les logarithmes de tous les nombres , piufque 

 les nombres , qui font le produit de deux nombres , 

 ont pour logarithmes , la fomme des logarithmes de 

 leurs produifans ; & réciproquement, fi l'on a le 

 logarithme du produit de deux nombres , & celui de 

 l'un de fes produifans , on aura facilement le loga- 

 rithme de l'autre produifant ; de même ayant le lo- 

 garithme d'un quarré , d'un cube , &c. on a celui de 

 fa racine, ainfi qu'on l'a démontré dans les proposi- 

 tions précédentes ; par conféquent, fi l'on prend la 

 moitié du logarithme de 9 trouvé ci-deffus , l'on aura 

 le logarithme de 3 , fçavoiro. 4771 2 12. 

 Tome IX, 



Dans les logarithmes, les nombres qui précèdent le 

 point expriment des entiers ; & ceux qui font après! 

 le point , expriment le numérateur d'une fraction $ 

 dont le dénominateur eft l'unité , fuivie d'autant dé 

 zéros que le numérateur a de figures. L'on donne à 

 ces entiers le nom de caracîérifliques j ou d\xpofans $ 

 parce qu'ils marquent , en leur ajoutant 1 , combieti 

 de caractères doit avoir le nombre auquel le loga- 

 rithme correfportd ; ainfi o à la tête d'un logarithme- 4 

 ou placé dans le logarithme avant le point, fignifié 

 que le nombre correfpondant ne doit avoir que le 

 fëul caractère des unités , qu'une feule figure , parce 

 que ajoutant 1 à o caractéristique , on aura le nom* 

 bre 1 , qui marque le nombre de figures qu'a le nom- 

 bre auquel fe rapporte le logarithme; 1 caractérifii^ 

 que lignifie que le nombre correfpondant au loga- 

 rithme , contient non-feulement des unités , mais en- 

 core des dixaines , & non pas des centaines ; qu'eri 

 un mot , il contient deux figures , & qu'il a fa place 

 entre dix & cent , & ainfi des autres expofans ou 

 caractéristiques. Il s'enfuit donc que tous les nom- 

 bres , lefqueîs quoique différens , ont néanmoins au- 

 tant de caractères ou de figures les uns que les au- 

 tres ; par exemple , les nombres compris entre 1 & 

 10, entre 10 & 100, entre 100 & 1000 , &c. doi- 

 vent avoir des logarithmes donc la caract ériftique foit 

 la même , mais qui différent par les chiffres pla- 

 cés à la droite du point. 



Si le nombre n'eft nombre qu'improprement, mais: 

 qu'il foit en effet une fraction décimale exprimée nu- 

 mériquement , ce qui arrivera lorfqu'il n'aura de ca- 

 ractère réel qu'après le point > alors il devra évi- 

 demment avoir un logarithme négatif, & de plus la 

 caractériftique de ce logarithme négatif marquera 

 combien il y aura de o dans le nombre avant fa pre- 

 mière figure réelle à gauche , y compris le o, qui eft 

 toujours cenfé fe trouver avant le point ; ainfi,Je /o- 

 garithme de la fraction décimale o. 256 eft 1. 40824; 

 celui delà fraction décimale o. 02 56 eft 2. 40824, &ct 



Tout cela eft une fuite de la définition des loga- 

 rithmes $ car puifquc les nombres entiers 1 , 10, 100^ 

 &c. ont pour logarithme o , 1 , 2, &c. les fractions 

 Tt •> tzô 3 & c - q u i forment une progreffion géomé- 

 trique avec les entiers 1 , 10 , ioo, &c. doivent 

 avoir pour logarithmes les nombres négatifs ,1,2, 

 &c. qui forment une progreffion arithmétique avec 

 les nombres o , 1,2, &c. donc &e. 



Soit propofé maintenant de trouver le logarithme d'uti 

 nombre plus grand que ceux qui font dans les tables i 

 mais moindre que 10000000. Retranchez au nombre 

 propofé fes quatre premières figures vers la gauche, 

 cherchez clans les tables le logarithme de ces quatre 

 premières figures , ajoutez à la caractériftique de ce 

 logarithme autant d'unités qu'il eft refté de figures 

 à droite dans le nombre propofé. Souftrayez enfuite 

 le logarithme trouvé de celui qui le fuit immédiate- 

 ment dans les tables , & faites après cela cette pro- 

 portion , comme la différence des nombres qui cor- 

 refpondent à ces deux logarithmes confécutifs eft à 

 la différence des logarithmes eux-mêmes , ainfi ce qui 

 refte à droite dans le nombre propofé eft à un qua- 

 trième terme , que nous pourrons nommer la diffè* 

 rznce logarithmique ; en effet , fi vous l'ajoutez au lo* 

 garithme d'abord trouvé , vous pourrez fans erreuf 

 fenftble , prendre la fomme pour le logarithme cher-' 

 ché. Si l'on demandoit par exemple , le logarithme dit 

 nombre 92375 , je commencerai par en retrancher 

 les quatre premières figures à gauche, fçavoir 9237, 

 & je prendrais dans les tables les logar. 3. 965530^ 

 du nombre qu'elles forment à elles feules , dont j'aug- 

 menterois la caractériftique 3 d'une unité , ce qui me 

 donneroit 4. 9655309 , auquel il ne s'agiroit plus 1 

 que d'ajouter la différence logarithmique convena^ 

 ble : or pour la trouver , je prendïois dans les table» 



L, L 1 1 i j 



