<53 2 LOG 



îe Logarithme du nombre immédiatement au-deffus 

 9237, c'eft-à-dire celui de^ajS, lequel 



eft ..... 3. 9655780. 



& j'en fouftrairois celui de 9237 , trou- 

 vé ci-deffus , fçavoir , 3. 9655309. 



& il refteroit 471. 



cela pofé, je ferois cette proportion: comme 10, dif- 

 férence de 92380 à 92370 , eft à la différence trou- 

 vée toute-à-l'heure , fa voir 471 , ainfi 5 qui me ref- 

 toit dans le nombre propofé à droite, après en avoir 

 retranché les quatre premières figures à gauche, eft 

 à la différence logarithmique que je cherchoîs , la- 

 quelle feroit par conféquent 23 5 ; il n'y auroit donc 

 plus qu'à ajouter enfemble le Logarithme de 92370 , 



fçavoir, 4.9655309. 



6c la différence logarithmique trouvée, . . 235. 



& il viendrait . . 4.9655544. 



pour la valeur du Logarithme cherché. La raifon de 

 cette opération eft que les différences de trois nom- 

 bres a,b ,c , lorfque ces différences font fort petites , 

 font entr elles , à très-peu près , comme les diffé- 

 rences de leurs Logarithmes. Voyez Logarith- 

 mique. 



Si le nombre propofé étoit une fraction ou un 

 entier plus une fraction , il faudroit d'abord réduire 

 le tout à une feule fra&ion , & chercher féparé- 

 ment le Logarithme du numérateur & celui du déno- 

 minateur pour la méthode qu'on vient de donner , 

 enfuite on retrancheroit les deux Logarit/imes l'un de 

 l'autre , & on auroit le Logarithme de la fraction 

 propofée. 



Soit propofé de plus de trouver le nombre correfpon- 

 dant à un logarithme plus grand qu aucun de ceux qui 

 font dans Les tables. Souftrayez d'abord du logarithme 

 donné le logarithme de 10 , ou celui de 100 , ou celui 

 de 1000 , ou celui de 10000 , le premier en un mot , 

 de cette efpece qui donnera un reftant d'un nombre 

 de caractères , tels qu'il s'en trouve dans les tables. 

 Trouvez le nombre correfpondant à ce reftant con- 

 sidéré lui-même comme logarithme , Se multipliez 

 ce nombre trouvé par 100, par 1000, ou par 10000, 

 &c. le produit fera le nombre cherché. 



Suppofons par exemple, qu'on demande le nom- 

 bre correfpondant au Logarithme 7. 7589982 , vous 

 en ôterez le logarithme du nombre ioooo , lequel eft 

 4. 0000000, 6c le reftant fera 3. 7589982, lequel 

 correfpond dans les tables au nombre 57417^3- Vous 

 multiplierez donc ce dernier nombre par 1000, &Ie 

 produit 5741 1 100 fera îe nombre cherché. Si on 

 propofé de trouver le nombre , ou pour parler plus 

 proprement , la fraction correspondante à un loga- 

 rithme négatif, il faudra ajouter au logarithme donné , 

 le dernier logarithme de la table ; c'eft-à-dire , celui 

 du nombre 10000 , ou pour mieux dire , il faudra 

 fouftraire le premier pris pofitivement du fécond , 

 & trouver le nombre correfpondant au refte de la 

 fouftraction regardée comme logarithme. Vous ferez 

 de ce nombre le numérateur d'une fraction , à la- 

 quelle vous donnerez 10000 pour dénominateur, 

 & cette fraction fera le nombre cherché. Par exem- 

 ple , fuppofons qu'on demande la fraction corref- 

 pondante au logarithme négatif , . . 0.3679767. 

 je le fouftrais du logarithme de 10000^ 

 ou de . . . . . . . . . . 4. 0000000. 



&le reftant eft . 3.6320233. 



auquel correfpond dans les tables le nombre 4285 

 la fraction cherchée fera donc r~~. On ap- 

 percevra la raïfon de cette règle , en obfervant que 

 toutes fractions étant le quotient de fon numérateur 

 par fon dénominateur , l'unité doit être à la frac- 

 tion comme le dénominateur eft au numérateur ; 

 Hiais comme l'uniré eft à la fraction qui doit corref- 



LOG 



pondre au Logarithme négatif donné , ainfi ioooo eft 

 au nombre correfpondant au logarithme reftant ; donc 

 fi l'on prend 10000 pour dénominateur , & le nom- 

 bre correfpondant pour numérateur, on aura la frac- 

 tion requife. 



Soit enfin propofé de trouver un quatrième propor- 

 tionnel à trois nombres donnés. Vous ajouterez le lo- 

 garithme du fécond à celui du troifieme , & de la 

 fomme que cette addition vous aura fournie , vous 

 ôterez le logarithme du premier , le reftant fera le 

 logarithme du quatrième nombre cherché. Par exem- 

 ple , foit donné les nombres 4 , 68 & 3. 



Le Logarithme de 68 eft . . . 1. 8325089, 



Le logarithme de 3 eft . . . . 0.4771 21 3. 



Je les ajoute , & je trouve pour , 



fomme . .... ...... 2.3096302. 



Le logarithme de 4 eft . . . . o. 6020600. 



Je fais la fouftraction , & il refte . . 1.7075702, 

 qui doit être le logarithme du nombre cherché ; 6c 

 comme le nombre correfpondant dans les tables eft 

 51, j'en conclus que 51 eft le nombre cherché lui- 

 même. 



Ce problème eft du plus grand ulage dans la Tri- 

 gonométrie, Foye{ Triangle & Trigonométrie. 



Tous ces problèmes fur les logarithmes fe dédui- 

 fent évidemment de la théorie des logarithmes donnéè 

 ci-delfus, & ils peuvent fe démontrer aufli par la 

 théorie de la logarithmique qu'on trouvera â fon 

 article. 



Nous terminerons celui-ci par une queftion qui a 

 été fort agitée entre MM. Léibnitz & Bernoulli. Les 

 logarithmes des quantités négatives font-ils réels oii 

 imaginaires? M. Léibnitz tenoit pour le fécond, M. 

 Bernoulli pour le premier. On peut voir les lettres 

 qu'ils s'écri voient à ce fujet ; elles font imprimées 

 dans le commercium epiflolicum de ces deux grands 

 hommes, publié en 1745 à Laufanne. J'eus autrefois 

 (en 1747 & 1748 ) une controverfe par lettres avec 

 le célèbre M. Euler fut le même fujet; il ioutenoit 

 l'opinion de M. Léibnitz, & moi celle de M. Ber- 

 noulli. Cette controverfe a occafioné un favant mé- 

 moire de M. Euler, imprimé dans le volume de l'aca- 

 démie de Berlin pour l'année 1709. Depuis ce tems, 

 M. de Foncenex a traité la même matière dans le 

 premier volume des mémoires de l'académie de Tu- 

 rin , & fe déclare pour le fentiment de M. Euler qu'il 

 appuie de nouvelles preuves. J'ai compofé fur ce 

 fujet un écrit dans lequel je me déclare au contraire 

 pour l'opinion de M. Bernoulli. Comme cet écrit 

 aura probablement vu le jour avant la publication 

 du préfent article , je ne l'inférerai point ici., & je 

 me contenterai d'y renvoyer mes lecteurs, ainfi 

 qu'aux écrits dont j'ai parlé ; ils y trouveront toutes 

 les raifons qu'on peut apporter pour & contre les 

 logarithmes imaginaires des quantités négatives. Je 

 me bornerai à dire ici, i°. Que fi on prend entre 

 deux nombres réels &pofitifs , par exemple 1 & 2, 

 une moyenne proportionnelle , cette moyenne pro- 

 portionnelle fera auffi-bien — 1/2 que + Se 

 qu'ainfi le logarithme de «- y/2 & celui de \/i fe- 

 ront le même, favoir log, |. 2 0 . Que fi dans l'équa- 

 tion y = c * & le logarithmique (Voye^ Logarith- 

 mique & Exponentiel ) on fait x = ~, on aura 



y — c % = ±_ j/V, & qu'ainfi le logarithmique aura 

 des ordonnées négatives & pofitives, en tel nombre , 

 qu'on voudra à l'infini ; d'où il s'enfuit que les lo- 

 garithmes de ces ordonnées feront les mêmes , c'eft- 

 à-dire des quantités réelles. 3 0 . A ces raifons ajou- 

 tez celle qui fe tire de-la quadrature de l'hyperbole 

 entre fes afymptotes, que M. Bernoulli a donnée le 

 premier , & que j'ai fortifiée par de nouvelles preu- 

 ves ; ajoutez enfin beaucoup d'autres raifons que 

 l'on peut lire dans mon mémoire 3 ajojj que rjjes ré: 



