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ponfes aux objections de MM.Euïer &de Foncenex, 

 & on' fera, je crois, convaincu que les logarithmes 

 des nombres négatifs peuvent être réels. Je dis peuvent 

 être , & non pas font ; ceft qu'en effet on peut pren- 

 dre tel fyftènie de logarithmes qui rendra imaginaires 

 les logarithmes des nombres négatifs. Par exemple , 

 M. Euler prouve très-bien que fi on exprime les lo- 

 garithmes par des arcs de cercle imaginaires , le /<?- 

 garithme de — i fera imaginaire; mais au fond tout 

 fyflème de logarithmes eft arbitraire en foi ; tout dé- 

 pend de la première fuppofition qu'on a faite. On 

 dit, par exemple, que le logarithme de l'unité eft 

 = o, & que les logarithmes des fractions font néga- 

 tifs. Tout cela n'eft qu'une fuppofition ; car on pour- 

 roit prendre une telle progreffion arithmétique que 

 le logarithme de l'unité ne fût pas égal à o , & que 

 les logarithmes des fractions fuffent des quantités 

 réelles & pofitives. Il y a bien lieu de craindre que 

 toute cette difpute fur les logarithmes imaginaires , 

 ne foit qu'une difpute de mots , 6c n'ait été fi agitée 

 que faute de s'entendre. Ce n'eft pas le premier 

 exemple de difpute de mots en Géométrie. Foyt{ 

 Contingence & Forces vives. 

 ' MM. Gregori , Mercator, Newton , Halley, Co- 

 tes, Taylor, &c. ont donné différentes méthodes 

 pour la conftruction des tables des logarithmes , que 

 l'on peut voir dans les Tranfaclions philofophiques. 

 V oyei fur - tout un mémoire de M. Halley dans les 

 Tranfacl. philof dt iG^5.n° ,x\6 . Sans entrer ici dans 

 ce détail , nous donnerons une méthode allez fimple 

 pour calculer les logarithmes. 



Nous fuppoferons d'abord (voye^ l'article LoGA- 

 ritmique) que la foutangente de la logarithmique 

 foit égale à l'ordonnée que l'on prend pour l'unité , 

 nous prendrons une ordonnée i — u qui foit plus 

 petite que l'unité , & nous aurons , en nommant 

 l'abfciffe dx , l'équation dx — — ~~, comme il 



réfulte de l'article cité ; d'où il s'enfuit encore que 

 x eft égal au logarith. de i — u , & qu'ainfi le loga- 

 rithme, de 1 u eft égal à l'intégrale de ~ . Or 



I - K 



faifant la divifion fuivant les règles ordinaires , ou 

 fuppofant , = i — u , on trouve ( voye^ 



Division, Binôme, Exposant , Série , Suite, 

 &c. ) que — ~~ — —du — udu — u'-du — u du, 



&c. dont l'intégrale eft — u — JL_ — liV'jL , &c. 



■ ï i 4 



à l'infini ; & cette férié eft convergente , parce que 

 les numérateurs & les dénominateurs vont toujours 

 en diminuant, car u eft plus petit que l'unité. Foye^ 

 Fraction. On aura donc, en prenant un certain 

 nombre de termes de cette fuite , la valeur appro- 

 chée du logarithme de i — u ; or connoiffant le lo- 

 garithme de la fraction i— #, on connoîtra le loga- 

 rithme du nombre entier qui eft rroifieme propor- 

 tionnel à cette fraction & à l'unité ; car ce Loga- 

 rithme eft le même , mais pris avec un figne pofitif. 

 Par exemple , fi on veut avoir le logarithme du nom- 

 bre io , on cherchera celui de la fraction ~ — i 

 T5, ainfi. u — f|. Donc le logarithme de f§ eft 



— -h — -Bz — t3$ & c > & ainfi de fuite ; & cette 

 quantité prife avec le figne -f, eft le logarithme 

 de io. 



Tout cela eft vrai dans l'hypothefe que la foutan- 

 gente de la logarithmique foit = i ; mais fi on vou- 

 loit que le logarithme de io fût i , par exemple , au 

 lieu d'être égal à la férié précédente , alors tous les 

 logarithmes des autres nombres devroient être mul- 

 tipliés par le rapport de l'unité à cette férié. Voye^ 

 Logarithmique. (O) 



^ LOGARITM1QUE, f. f. (Géométrie.) courbe qui 

 tire ce nom de fes propriétés & de les ufages dans 



L O G 



la conftra&ion des logarithmes & dans l'explication 

 de leur théorie. 



Si l'on divife la ligne droite AX{Pl. d'Jnalyfe 9 

 fig- 37 : ) en » n nombre égal de parties, & que par 

 les points A , P , p , de divifion , on tire des lignes 

 toutes parallèles entr'eîles & continuellement pro- 

 portionnelles , les extrémités N, M, m, &c. de ces 

 dernières lignes , formeront la ligne courbe appellée 

 logarithmique, de forte que les abfciffes AP , Ap, 

 font ici les logarithmes des ordonnées PM y p m , 

 &c. puifque ces abfcifles font en progreffion arith- 

 métique pendant que les ordonnés font en progref- 

 fion géométrique. Donc fi AP = x , Ap=u, PM 

 —yfP m = & qu'on nomme ly & l^ les loga- 

 rithmes dey & de i, on aura x=ly, u = l^, &: 

 par conféquent 



Propriétés de la logarithmique. Dans une courbe 

 quelconque , li on nomme/ la foutangente, on a — 

 ~J~ — ~^J' F °y e l SOUTANGENTE. Or dans la lo- 

 garithmique, fi on prend dx confiant , c'eft- à-dire 

 les abfcifles en progreffion arithmétique , dont la 

 différence foit dx , les ordonnées feront en progref- 

 fion géométrique , & par conféquent les différences 

 de ces ordonnées ( voye^ Progression géomé- 

 trique ) feront entr'eîles comme les ordonnées * 

 donc fera confiant , d'où ~ fera confiant ; done 

 puifque ( hyp. ) dx eft confiant, fie fera auffi ; 

 donc la foutangente de la logarithmique eft conf- 

 iante ; j'appelle cette foutangente a. 



2°. Si on fait a—\. on aura d x = ^- : dont 

 l'intégrale eft x = log. y ; & fi on fuppofe un nom- 

 bre c, tel que fon logarithme , foit = i , on aura 

 x log. c = log. y, &par conféquent log. c* = log. y 

 &y = c x . Voye{ Logarithme. C'eft- là ce qu'on 

 appelle repajfer des logarithmes aux nombres , c'eft-à- 

 dire d'une équation logarithmique x — ly, à une 

 équation finie exponentielle y = c* . Voye^ Expo- 

 nentiel. 



3°. Nous avons expliqué au mot Exponentiel 

 ce que fignifîe cette équation y — c x appliquée à la 

 logarithmique. En général , fi dans une même loga- 

 rithmique on prend quatre ordonnées qui foient en 

 proportion géométrique ; l'abfciffe renfermée entre 

 les deux premières fera égale à l'abfciffe renfermée 

 entre les deux autres , & le rapport de cette abfciffe 

 à la foutangente fera le logarithme du rapport des 

 deux ordonnées. C'eft une fuite de l'équation ~ 

 = ~ qui donne ~ sa log. , en fuppofant que 

 y — b , lorfque x = o. 



4°. Si on prend pour l'unité dans la logarithmique 

 l'ordonnée qui eft égale à la foutangente, on trou- 

 vera que l'abfcifTe qui répond au nombre 10 ( c'eft- 

 à-dire à l'ordonnée qui feroit égale à dix fois celle 

 qu'on a prife pour l'unité ) on trouvera , dis-je , que 

 cette abfciffe ou le logarithme de io eft égal à 

 2,30258509 ( voyei Logarithme ), c'eft - à - dire 

 que cette abfciffe eft à la foutangente comme 

 230258509 eft à 100000000; c'eft fur ce fonde- 

 ment que Képler avoit confirait fes tables de loga- 

 rithmes , & pris 2, 3025850 pour le logarithme 

 de 10. 



5 0 . Mais fi on place autrement l'origne de la lo- 

 garithmique, & de manière que l'ordonnée 1 ne foit 

 plus égale à la foutangente , & que l'abfciffe corn- 

 prife entre les ordonnées 1 & 10 foit égale à 1 ; ce 

 qui fe peut toujours fuppofer , pufqu'on peut pla- 

 cer l'origine des x 011 l'on voudra , alors le logarith- 

 me de 10 fera 1 , ou 1 , 0000000, &c. & la fou- 

 tangente fera telle que l'on aura 2, 3025850 à l'u- 

 nité, comme i ? qqqqqoo eft à la valeur de la fou- 



