﻿

s 1. l^e problème de la délerminalion des fonctions analyli({ues présentant 

 des singularités spéciales a conduit à établir de nombreux exemples de fonctions 

 qui admettent leur contour de convergence comme ligne singulière mais qui diffèrent 

 beaucoup en ce qui concerne la nature des points singuliers'). La note suivante 

 est consacrée à étudier le caractère des singularités offertes par quelques fonctions 

 spéciales qui ne se laissent pas prolonger au-delà du cercle de convergence: et 

 parmi les fonctions dont nous traitons on en trouvera dont les développements 

 asymptotiques ne sont valables que le long d'une ligne droite issue de l'origine. 



Tel sera le cas pour la fonction <P{s) =^> ^n ^°"* nous traitons dans le 



n = l 



dernier paragraphe. Comme on le verra, nous arriverons en ce qui concerne cette 

 fonction au résultat suivant: Sur un arc quelconque du cercle de convergence, 

 aussi petit qu'on voudra, il y aura une infinité de points jouissant de cette pro- 

 priété que la fonction convergera vers une valeur constante en s'approchant des 

 points considérés suivant un rayon vecteur issu de l'origine et une infinité de points 

 au voisinage desquels la fonction est indéfiniment croissante. 



§ 2. Dans une note^) que nous avons eu Ihonneur de présenter à l'Académie 

 royale des sciences et des lettres de Danemark, nous avons étudié le caractère 

 analytique des fonctions définies par l'expression: 



00 



n= 1 



OÙ r et f sont des nombres entiers positifs quelconques. Chaque série de cette 

 forme est convergente pour toute valeur du variable complexe s, dont le module 

 reste inférieur à l'unité. 



Dans la note citée nous avons démontré que la fonction Fis) ne pourra être 

 prolongé au de-là du cercle de convergence. En désignant par a une racine 



') Voir par exemple l'excellent livre de M. Hadamard: La série de Taylor et son prolongement 

 analytique, chapitre IV. Paris 1901. 



-) Bulletin de TAcadéniie royale des sciences et des lettres de Danemark, année 1907, p. 3 — 19. 



1* 



30851 



