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Bulletin  physico-mathématique 
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2°.  Le  second  principe  qui  pourrait  mener  de  plu- 
sieurs manières  à des  démonstrations  très  simples  de  la 
the'orie  des  parallèles , consiste  à admettre  quun  angle 
déterminé  ne  peut  donner  naissance  à une  ligne  droite 
d'une  longueur  fixe*').  Mais  cette  hypothèse,  malgré 
tous  les  arguments  dont  on  a cherche'  à l’appuyer,  ne 
nous  semble  pas  avoir  un  caractère  d’e'vidence  suffisante 
pour  être  admise  gratuitement.  Et  en  effet , la  démon- 
stration de  cette  proposition , si  l’on  y réfléchit , doit 
présenter  des  difficultés  au  moins  égales  à celles  de  la 
théorie  des  parallèles,  parce  que  le  principe  en  question 
a lui  même  plus  de  généralité  que  n’en  n’exige  l’objet 
auquel  on  le  fait  servir.  Les  raisonnements  dont  on  ap- 
puie ordinairement  cette  hypothèse  , ne  mettent  pas  une 
différence  décisive  entre  un  angle  rectiligne  et  un  angle 
mixte , dont  un  côté  serait  une  droite , et  l’autre  une 
branche  de  courbe.  Dans  ce  dernier  cas , l’angle  déter- 
minerait nécessairement  une  longueur  fixe  qui  serait , 
par  exemple  , soit  un  paramètre  de  la  courbe  qui  forme 
un  côté  de  l’angle , soit  une  certaine  fonction  de  ce 
même  paramètre  ou  de  plusieurs  autres.  En  tout  cas, 
observons  que  le  principe  dont  nous  parlons , outre 
son  manque  d’évidence , est  encore  trop  abstrait  et  trop 
métaphysique  pour  trouver  place  dans  la  géométrie  élé- 
mentaire , et  je  crois,  qu’en  définitive,  on  admettra  plus 
facilement  soit  le  postulatum  cl’Euclide , soit  toute  autre 
vérité  fondamentale  de  la  théorie  des  parallèles , que  la 
proposition  abstraite  dont  il  vient  d’être  question. 
3°.  Le  troisième  procédé  de  démonstration  qu’on  a 
tenté,  est  celui  des  constructions  directes.  Telle  est. 
par  exemple,  la  marche  suivie  par  Legendre,  pour 
prouver  le  théorème  sur  la  somme  des  trois  angles  d’un 
triangle  ; sa  constraction  est  fondée  sur  la  décomposition 
du  triangle  primitif  en  une  suite  d’autres  , dont  chacun 
est  équivalent  au  premier  pour  la  somme  de  ses  angles. 
Dans  le  Mémoire  cité  plus  haut  j’ai  fait  voir  en  quoi 
cette  démonstration , toute  ingénieuse  quelle  soit  , pa- 
raissait manquer  de  rigueur.  Beaucoup  d’autres  tentatives, 
également  fondées  sur  des  constructions  directes  , ont  été 
faites  sans  qu’aucune  d’elles  ait  pu  atteindre  à la  rigueur 
géométrique. 
4°.  Enfin  on  a essayé  de  faire  entrer  dans  les  dé- 
monstrations de  la  théorie  des  parallèles  la  notion  des 
forces  et  du  mouvement.  La  première , comme  entière- 
ment étrangère  a.  la  géométrie  , ne  doit  pas  être  admise. 
Quant  au  mouvement  considéré  sous  le  point  de  vue 
purement  géométrique , il  ne  peut  certainement  être 
£)  Voir  le  n°  S du  Mémoire  cité  plus  haut. 
d’aucun  secours  dans  la  question  dont  il  s’agit.  Tous  les 
raisonnements  fondés  sur  des  notions  cinéthmiques  pour- 
ront toujours  être  remplacés  par  des  constructions , et 
présenteront  le  même  genre  de  difficulté  que  l’applica- 
tion directe  de  la  troisième  méthode. 
En  examinant  avec  quelque  attention  la  théorie  des  pa- 
rallèles , on  s’aperçoit  de  suite  qu’on  peut  la  faire  dé- 
pendre en  entier  d’une  des  propositions  nombreuses  soit 
sur  les  lignes  obliques  ou  sur  les  parallèles,  soit  sur  les 
triangles  ou  figures  rectilignes  quelconques.  On  pourrait 
citer  un  grand  nombre  de  ces  propositions  caractéristi- 
ques; mais,  quelle  que  soit  celle  que  l’on  prenne  pour 
point  de  départ,  on  sera  conduit  en  définitive  à des  dif- 
ficultés qui  auront  toujours  la  même  source.  Le  plus 
souvent  c’est  le  postulatum  d’Euclide  , ou  bien  la  pro- 
position sur  la  somme  des  trois  angles  d’un  triangle  qui 
sert  de  base  à ces  sortes  de  recherches. 
Lorsque  l’on  s’attache  à démontrer  le  postulatum  d’Eu- 
clide , on  tombe  sur  des  difficultés  qui , en  y réfléchis- 
sant bien  , résident  en  entier  sur  ce  que  l’on  ne  distin- 
gue pas  d’une  manière  explicite  l’oblique  qui  doit  ren- 
contrer la  perpendiculaire,  d’avec  une  courbe  tournant 
sa  convexité  vers  celte  même  perpendiculaire.  De  cette 
manière  rien  ne  s’oppose  à ce  que  les  deux  lignes  in- 
clinées l’une  par  rapport  à l’autre  ne  se  rencontrent  ja- 
mais. En  effet,  puisque  l’hypothèse  de  la  forme  courbe 
et  en  même  temps  convexe  n’est  pas  écartée  explicite- 
ment , rien  n’exclut  le  cas  où  la  perpendiculaire  serait , 
par  rapport  à cette  oblique , dans  les  mêmes  circonstan- 
ces qu’une  asymptote  relativement  à une  branche  infi- 
nie de  courbe.  C’est  en  cela , à notre  avis  , que  réside 
la  difficulté  principale.  Si  l’on  fait  dépendre  la  théorie 
des  parallèles  du  théorème  sur  la  somme  des  trois  an- 
gles d’un  triangle  , l’insuffisance  des  méthodes  ordinaires 
se  manifeste  encore  de  la  même  manière,  c’est-à-dire 
qu’en  cherchant  à démontrer  que  la  somme  des  angles 
d’un  triangle  ne  peut  pas  être  inférieure  à deux  droits  , 
les  raisonnements  qu’on  emploie  n’excluent  pas  explici- 
tement la  possibilité  que  les  trois  côtés  de  ce  triangle  , 
ou  deux  d’entr’eux,  ou  un  seul  côté  n’aient  pas  la  forme 
d’un  arc  de  courbe  convexe  vers  l intérieur  du  triangle. 
On  sait  parfaitement  d’ailleurs  que  la  possibilité  de  la 
forme  concave  se  trouve  écartée  par  le  fait , puisqu’on 
démontre , en  toute  rigueur , que  la  somme  des  trois 
angles  d’un  triangle  ne  peut  pas  être  supérieure  à deux 
droits. 
Ayant  ainsi  constaté  le  point  de  difficulté , il  a fallu 
chercher  un  moyen  de  l’écarter.  Ce  qu  il  y aurait  eu  de 
plus  naturel  pour  cela,  eut  été  d’exclure,  de  prime- 
