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Bulletin  physic o-mathématique 
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eben  deshalb  auch  für  die  folgenden  Bearbeiter  der 
Dioptrik  verloren  gegangen  ist.  Wird  dieser  Ausdruck 
an  die  Spitze  gestellt,  so  folgt  der  Satz  von  Dupin 
sogleich. 
Es  seien  u,  r>,  w die  Coordinaten  eines  Punctes  des  ein- 
fallenden, «,  p>,  w die  eines  Punctes  des  gebrochenen 
Strahles,  x , y,  z wie  bisher  die  Coordinaten  des  Ein- 
fallspunctes,  q und  q'  Abschnitte  der  beiden  Strahlen, 
nämlich 
q"-—{x—  a)2  + (y  — e)2  + (2  — w'/, 
qz  ~(x  — i/y  + (y  — e')2  + (2  — tv')2; 
so  ist  q cos  a~x — u , u.  s.  f. , daher  verwandelt  sich 
die  Gleichung  1 in  folgende: 
—f  { O — u') dx  + (r  — di  + (z  — } = 
~ { (*  — «)  dx  + (y  — u)  dy  + (2  — w)  ^2  j . 2. 
Haben  nun  die  einfallenden  Strahlen  eine  senkrechte 
Schneidungsfläche,  und  bezieht  man  u,  f,  w auf  die  Puncte 
derselben , so  ist 
( x — u)  du  -j-  (y  — f)  clv  (z  — w)  dw  ~ 0, 
daher 
und 
1 
(x  — u ) dx  -\-(y  — f)  dy  -j-  (2  — if)  dz  — 
(x  — u)  (dx — du)  + (y  — v)  (dy  dy)  -f 
(z  — w)  (dz  — dw)  “ qdq. 
—,  j (x — u ) dx  -f  (y  — v) dy  -f  (2—  wr) dz  J — ndq . 3. 
In  diesen  Gleichungen  sind  z,  «,  f,  iv  als  gegebene 
Functionen  von  x und  y anzusehen.  Man  setze 
dz~  pdx  -j-  p'  d y 
und  bestimme  u,  v\  w'  durch  die  Gleichungen, 
x — u ~\~p  (2  — w')  _ 
’ : " _ 1 
? 
y — + p‘  (z  — w') 
x — u p (z 
& 
w) 
y — f + />'  (Z  — W) 
l , 1 
q — nq  -f-  Const. 
so  ist  (u’  v w')  ein  Punct  des  gebrochenen  Strahles, 
und  man  hat  dq'  ~ndq , oder 
"f  { (x  — “)  (dx  du>)  + (j  — v)  (dJ  ~dv')  + 
(2  — w')  (d z — dw')  j ~ndq , 
folglich  durch  Vergleichung  mit  3. 
(j?  — u ) d u -j-  (y  — f*)  d v -f-  (2  — v/)  ~ 0 ; 
d.  h.  die  so  bestimmten  Werthe  von  u , f',  w gehören 
einer  senkrechten  Schneidungsfläche  der  gebrochenen 
Strahlen,  w,  z.  b.  w. 
Was  den  zweiten  von  Herrn  Ge  rg  on  ne  hinzugefüg- 
ten Satz  betrifft,  so  bedient  sich  der  Verfasser  zum  Be- 
weise desselben  eben  jener  von  ihm  durch  analytische 
Verwandlungen  erhaltenen  Gleichung  (<p),  indem  er  nach- 
weist, dass  dieselbe  integrabel  ist,  wenn  den  einfallen- 
den Strahlen  und  mithin  auch  den  gebrochenen  eine 
senkrechte  Schneidungsfläche  zukommt.  Das  Integral  die- 
ser Gleichung  ist  kein  anderes  als  die  vorige  .Gleichung 
q ~ nq  -]-  Const.  , 
und  der  Satz  selbst  ergiebt  sich  unmittelbar  aus  dem 
A orhergehenden  wie  folgt: 
Sind  f (u  f w ) 0 und  cp  (u  v w ) ~ 0 die  Gleichungen 
zweier  Flächen,  welche  als  senkiechte  Schneidungsflä- 
chen  zweier  Strahlensysteme  angesehen  werden,  und 
eliminirt  man  die  sechs  Grössen  «,  f,  iv,  u , v\  w aus 
den  folgenden  sieben  Gleichungen: 
/(«,„)-«.  -y-=V=-rs 
du  d v dw 
- y — v ' 
cp  (u  e w ) ~ 0 3 
dtp 
dd 
d<p  ' 
dd 
z — w 
dtp 
dW 
VI 
nV( 
■ u'y  + ( y — y y + (z — w’y  ~ 
x — u)2  + (y  — vÿ  -f-  (2  — w )2  -f-  Const, 
so  drückt  die  hierdurch  entstehende  Gleichung;  zwischen 
O 
xi  Yi  zi  hi  welcher  die  Constante  ganz  beliebig  bleibt,  die 
Grenzfläche  des  brechenden  Mittels  aus,  welche  geeig- 
net ist,  das  erste  Strahlensystem  durch  Brechung  in  das 
zwreite  zu  verwandeln.  Sollen  z.  B.  Strahlen  aus  einem 
Puncte  (abc)  wieder  in  einen  Punkt  (a  b’ c)  vereinigt 
werden,  so  erhält  man  für  die  dazu  erforderliche  Grenz- 
fläche des  brechenden  Mittels  sogleich: 
f ^ 
q ~?iq-\-  Const,  oder 
V(x  ~ ^y  + (y  - b'y+  (z  - cf  - 
nV(x  — af  + (y  — bf  + (2  — c)2  + Const., 
W'ie  bekannt. 
Die  Einfachheit  dieser  Herleitungen  lässt  nicht  be- 
zweifeln, dass  der  obige  Ausdruck  des  Brechungsgesetzes 
mit  Nutzen  in  die  Darstellungen  der  analytischen  Diop- 
trik eingeführt  werden  würde. 
9.  Ueber  IVatronseen  auf  der  Araxes-Ebene, 
NEBST  EINEM  AnIIANGE  ÜBER  DIE  DORTIGEN 
Sodapflanzen,  von  H.  ABICH,  Professor  der 
Mineralogie  an  der  Universität  zu  Dorpat.  (Lu 
le  23  janvier  18V6.) 
Das  Studium  der  Araxes-Ebene  mit  ihrer  Gebirgsum- 
wallung  bietet  dem  Physiker  eine  interessante  Mannig- 
faltigkeit natürlicher  Hülfsquellen  dar,  auf  wrelchen  der 
Reichthum  dieses  schönen  Landes  beruht 
