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de  l’Académie  de  Saint-Pétersbourg. 
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ces  solutions,  et  de  quelle  manière  ces  mêmes  quantités 
se  composeront  avec  les  coefficients  donnés  a,  b , c. 
La  résolution  simultane'e  des  équations  (2)  et  (4)  con- 
duit aux  valeurs  suivantes  de  x,  y , z: 
x=b 
J—c 
c'h"-tic" 
D 
a'ti'-h'a" 
C- 
u 
b'h" — h'b'' 
■a. 
b'h"— h'b" 
D ’ 
c'h'’-k'c” 
za.- 
D 
a'ti'-tia" 
D D 
D représentant,  pour  abréger,  la  quantité' 
l)=ab  c — ac  b -j -ca  b — bac  -f -bc  a — cb  a . 
Or,  si  l’on  de'signe  les  trois  quantite's  entièrement 
irbitraires 
a' h" -h' a"  b'h" -h'b"  c'h"—h'c" 
D ’ D ’ 1) 
respectivement  par  p , q , r,  on  retombera  sur  les  solutions 
générales  (3). 
Passons  actuellement  à l’équation 
ax-\-hy-\-cz-\-du—o ; (5) 
>our  en  trouver  la  solution  générale,  nous  ferons  usage 
le  la  méthode  qui  vient  d’être  employée,  c’est-à-dire 
[u’à  l’équation  (5)  nous  joindrons  les  trois  suivantes  : 
a ' x -f-  b' y -j-  c z -f-  d'u  =h'  \ 
a!'x  -\-b"y-\-  c" z -\-d''uz=h"  ( (6) 
a x-\ -b  y-j-c  z-\-d  w=h  , J 
lans  lesquelles  les  12  coefficients  a\  b',  c ’,  d',a" . . . d'", 
insi  que  h\  h" , h'"  sont  entièrement  arbitraires,  sauf 
a restriction  dont  il  a été  fait  mention  plus  haut.  La 
ésolution  simultanée  des  équations  (5)  et  (6)  conduira 
ux  valeurs  suivantes  des  inconnues  x,  y,  z et  u : 
x=  dp  — cq  -f-  br 
y = — dp  -f-  cq' — ar 
z = dr — bq  -f-  aq 
u— — cr  -\-bq — ap, 
, q,  r,  p\  q\  r étant  donnés  par  les  formules 
_ fc"b"'—  b"c'")h'Ar(b'c'"-  c'b"')h"Ar  (c'b"—b'c"j  h"' 
P D 
_ (d''b"'~  b"d"')h'y(b'd'"- d'b'")  h"-\-  ( d'b"—  b'd")  h"'  | 
(7) 
ü 
Çd''c'"-  c"d"')h'-\-  (c'd"'~  d'c'")h"  -f  (d'c"  - c'd"J//"l 
r__  ( c"a!"  — a"c"')h'^(a'c'"- c' a"')  h”  + (c'a"  - a'c")  h"'f^ 
P = 
D 
( d"a a"d'")h'-\-  (a'd'"-  d'a"')h"-\-  (d'a"~  a'd")k 
D 
, (b'V  ■ -a"b'")h'  + (a'b"'-b'a'")h"  + (b'a  - a'b"Jh' 
D 
dans  lesquelles  D représente  le  dénominateur  commun 
qui  se  trouve  dans  les  valeurs  des  quantités  .r,  y,  z,  u, 
déterminées  par  les  équations  (5)  et  (6)  5 ce  dénomina- 
teur, comme  on  le  sait,  se  compose  de  24  termes  qu’il 
est  inutile  d’écrire. 
Observons  actuellement  que  les  six  quantités  p,  q , r, 
p , q\  r'  sont  entièrement  arbitraires  ; on  peut  s’en 
convaincre  de  suite,  soit  en  substituant  immédiatement 
les  valeurs  (7)  dans  l’équation-  (5),  qui  se  trouve  ainsi 
satisfaite  identiquement,  soit  en  considérant  les  formules 
(8),  dans  lesquelles  les  quantités  a , b,  c',  d\  a".... 
d , h , h , li"  sont  toutes  arbitraires.  Il  résulte  donc 
de  cette  analyse  que  la  solution  générale  de  l’équation 
linéaire  homogène  (5),  à quatre  indéterminées , est  donnée 
par  les  formules  (7),  qui  contiennent  six  quantités,  en- 
tièrement arbitraires. 
Des  considérations  tout-à-fait  semblables  à celles  que 
nous  venons  d’employer,  nous  conduiront  à la  solution 
générale  de  l’équation  linéaire  à cinq  indéterminées 
ax -\-by cz-\- du-\- e\>  = o.  (9) 
En  représentant  par  p,  q , /•,  s,  t,  p\  q’.  r,  s',  t'  dix 
quantités,  entièrement  arbitraires,  nous  trouverons  pour 
la  solution  générale  de  l’équation  (9)  des  formules,  qu’on 
pourra  écrire  sous  cette  forme  : 
x = ep  -f-  dq  -f-  cr  -\-bs 
y—  et  -}- dp' -f- cq' — as 
z — er  -)-  ds' — bq' — ar 
u — et  — es  — bp  — aq 
v = — dt  — cr' —bt  — ap. 
En  considérant  avec  quelque  attention  les  formules  (ÎO), 
ainsi  que  les  solutions  (3)  et  (7)  cpie  nous  commence- 
rons par  mettre  sous  la  forme 
X = 
cp 
+ bq 
J= 
cr 
— aq 
z 
-br 
— aP 
X — 
dp 
-[-cq  +br 
1= 
dp' 
+ cq'- 
-ar 
z = 
dr' 
-V- 
aq 
u =- 
t 
-cr 
— bp  — 
ap 
pour  mettre  de  suite  en  évidence  la  loi  des  signes,  on 
arrivera  sans  la  moindre  difficulté  aux  conclusions  sui- 
vantes : les  expressions  des  indéterminées  x,  y , z,  u,  v, 
w . . .,  propres  à satisfaire  de  la  manière  la  plus  géné- 
rale à lequation  linéaire 
ax  -f-  by  -}-  cz  -j-  du  ev  -}- fw  -f- . . . . = o 
à n inconnues,  seront  elles  mêmes  des  fonctions  linéaires, 
àn  — 1 termes,  de  quantités  arbitraires.  L’ensemble  des  ar- 
