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Bulletin  physico  - mathématique 
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bitraires  p,  q,  r,  s . . . . p , q , r , s . 
les  valeurs  de  x , y,  z,  u,  u,w 
nombre  triangulaire  "g~^?ce  9U 
. .qui  entreront  dans 
sera  représenté  par  le 
’il  est  aisé  de  conclure 
par  analogie  en  considérant  les  expressions  (8)  qui  se 
rapportent  au  cas  de  quatre  indéterminées.  Quant  à la  dis- 
tribution des  coefficients  connus  a , b , c,  d , e,f. ...  et  des 
quantités  arbitraires  p,q,r. . . . p' , q , r ... .,  elle  ne  pré- 
sente aucune  difficulté  ; il  en  est  de  même  de  la  loi  des 
signes,  pour  laquelle  on  pourra  admettre,  si  l’on  veut, 
la  règle  suivante  : tous  les  termes  qui  composent  la  va- 
leur de  x seront  pris  avec  le  signe  -f  ; ceux  de  y égale- 
ment avec  le  signe  -f- , excepté  le  dernier  qui  sera  affecté 
du  signe  — ; dans  l’expression  de  z les  deux  derniers 
termes  seront  négatifs-,  dans  celle  de  u les  trois  derniers 
seront  pris  avec  le  signe  — , et  ainsi  de  suite  jusqu’à  la 
dernière  indéterminée , dont  tous  les  termes  seront  affec- 
tés du  signe  — . 
La  méthode  que  nous  venons  d’exposer  s’applique 
avec  la  même  facilité  à l’équation  linéaire  générale 
ax  -\-by  ~\-cz~^-du-\- . . . . = k. 
qui  contient  un  terme  constant  k Soit,  par  exemple, 
l’équation 
ax-\-by  = k.  (11) 
Nous  joindrons  à cette  équation  la  suivante  : 
a x -f-  b' y = h'f 
(12) 
dans  laquelle  a,  b'  et  h'  sont  arbitraires,  sans  rendre 
toutefois  l’équation  donnée  impossible,  ou  réduire  à 
l’identité  les  deux  formules  (11)  et  (12).  Nous  trou- 
verons 
kb'—  bh'  ah' — ka' 
ab' — ba'  5 ^ ab' — ba' 
Si  I on  pose 
b'  h!  a' 
^ ab' — baP  ^ ab' — ba'^  ah' — baP 
on  aura 
x — kp — bq,  y — aq — kr 
avec  la  condition 
ap  — br  — 1 • 
En  substituant  la  valeur  r = J-  dans  l’ex- 
b 1 b 
pression  de  y,  on  trouvera  pour  la  solution  générale  de 
l’équation  (11)  les  formules 
x^kp  — bq,  y = aq-k.^p  + -p 
dans  lesquelles  p et  q seront  entièrement  arbitraires.  Si 
l’on  prend  x,  ou,  ce  qui  revient  au  même,  la  différence 
kp  — bq  = P pour  arbitraire,  y ne  contiendra  que  cette 
même  arbitraire,  toute  seule,  et  l’on  obtiendra 
La  remarque  que  nous  venons  de  faire  s’applique  à 
toute  équation  à m indéterminées,  dont  la  solution  gé- 
nérale pourra  toujours  être  réduite  à ne  contenir  que 
m — 1 quantités  arbitraires. 
Sans  entrer  dans  des  détails  ultérieurs , nous  nous 
contenterons  d'observer  que  la  méthode  qui  vient  d’être 
exposée  réussit  nécessairement  dans  la  recherche  de  la 
solution  générale  de  toute  équation  indéterminée,  quel  que 
soit  son  degré  ainsi  que  le  nombre  des  indéterminées. 
Elle  s’étend  également  au  cas  de  plusieurs  équations 
simultanées  qui  contiendraient  un  nombre  d’indéterminées 
supérieur  au  nombre  de  ces  mêmes  équations.  Ainsi, 
sous  le  rapport  de  sa  généralité,  cette  méthode  ne  laisse 
rien  à désirer. 
2)  Nous  allons  exposer  dans  ce  paragraphe  la  solution 
très  simple  de  certaines  équations  indéterminées,  dont 
la  résolution,  par  les  méthodes  généralement  employées, 
semblerait  présenter  de  grandes  difficultés.  Prenons 
d’abord  pour  exemple  l’équation 
xmXn  + ymYn  = z,nZn,  (1) 
dans  laquelle  x,  X , y , Y,  z , Z représentent  des  quan- 
tités indéterminées,  et  ni  et  n deux  entiers,  premiers 
entr’eux.  Pour  résoudre  cette  équation  déterminons  a et  8 
au  moyen  de  la  condition 
ma  — nß  — 1 ; 
soit 
a = a0-\-nk,  ß = ß0-{ -mk  (2) 
sa  solution  générale.  En  prenant  deux  nombres  arbi- 
traires a et  b , et  en  représentant  leur  somme  par  c, 
ou  aura 
a-\-b  = c, 
et  par  conséquent  aussi 
gjaa — rißj^foma — nß ^rna — ri  ß 
d’où  l’on  tire 
(aa)m{bPcP)n  + (ba)'"(aßcß)n  — {ca)"\aßbß)n. 
De  cette  manière  la  solution  de  l’équation  (1)  sera 
donnée  par  les  formules 
x = aa,  X=bßCß  ) 
r=ba , Y = aßcß  J (4) 
z =ca,  Z=aßbß,  ) 
a et  ß étant  déterminés  par  les  équations  (2).  Il  est 
d’ailleurs  évident  qu’on  obtiendrait  de  nouvelles  solu- 
