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de  l’Académie  de  Saint-Pétersbourg. 
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lions  de  1 ’equation  (I)  en  prenant  trois  systèmes  distincts 
pour  a et  ß,  ce  qui  transformerait  l’équation  (3)  dans 
la  suivante  : 
d,na — nß  _|_  Jjmaf — uß' c",a'r nßn 
a,  a,  a"  étant  différents  entr’eux,  ainsi  que  ß,  ß\  ß". 
Pour  donner  une  application  des  formules  (4),  suppo- 
sons qu'on  ait  à résoudre  l’équation 
x2X3+y2T3  = zzZ\ 
pour  laquelle  on  a m = 2,  n = 3 Si  l’on  fait  a = 1, 
b = 2 , c = 3,  on  aura,  en  vertu  des  formules  (4), 
x = 1,  X=2ß.3ß,  y = 2a,  Y=  3A  2 = 3®,  Z = 2ß, 
Pour  que  cette  équation  s’accorde  avec  la  formule  (5), 
il  n’y  a qu’à  rendre  ß divisible  par  7,  ou,  en  d’autres 
ternies,  résoudre  la  congruence 
1 + 3Ä  = 0 (mod.7), 
qui  donnera 
A =2  + 7 
k'  étant  entier.  Ainsi,  en  attribuant  successivement  dif- 
férentes valeurs  aux  deux  nombres  entiers  h et  k' . on 
aura  une  infinité  de  solutions  de  l’équation  (5).  Soit, 
par  exemple, 
h = 0 , k'  — 0 , et  par  conséquent  k = 2 ; 
nous  aurons 
a et  ß étant  déterminés  par  l’égalité 
2a  — 3/5=  1; 
or,  comme  a0  = 2,  ß0  = l)  il  viendra 
a = 2+3A,  0=1+2 k. 
Si  f on  suppose  A~=0,  les  valeurs  précédentes  des  in- 
déterminées se  réduiront  à 
x = \,  ^=6,^  = 4,  T=  3,  2 = 9,  Z=  2. 
En  effet,  on  aura 
1 2.63+  42.33  = 92.2*. 
L’analogie  de  l’équation  (1)  avec  celle  de  Fermat 
xm  + ym  = zm 
qu’on  sait  être  impossible,  sauf  le  cas  m = 2,  est  assez 
sensible  pour  qu’au  premier  abord  on  soit  frappé  de  la 
facilité  de  trouver  un  nombre  illimité  de  solutions  pour 
la  formule  citée  (1). 
La  méthode  que  nous  venons  d’employer  peut  servir 
à la  résolution  d’un  grand  nombre  d’équations  indéter- 
minées de  formes  très  variées  et  très  générales.  Don- 
nons en  encore  deux  exemples.  Supposons,  en  premier 
lieu,  qu’il  s’agisse  de  résoudre  l’équation  indéterminée 
numérique 
5x3X 5 —7 y 3T 5 = 827.  (5) 
Pour  y parvenir,  commençons  par  résoudre  l’équation 
5 a — 7b  — 8; 
nous  aurons 
a=3  + 7Â,  b—  f +5Ä. 
Posant  ensuite 
3a  — 5/3=1.,  d’où  a=2  + 5/c,  0 = 1 + 3 k, 
)n  aura 
5a3a — 5ß — 7b3a — sß  = 8, 
>u  bien 
5.(aa)3(bß)s—7.(ba)*(aß)s  — 8 (asb5)ß. 
a —3,  b = 1,  a = 12,  0 = 7, 
et  par  suite 
5.(312)3.15 — 7.1 3.(37)6  = 8.(35)’, 
équation  qu  il  est  très  facile  de  vérifier  à cause  du  fac- 
teur 333,  commun  à tous  les  trois  termes. 
Terminons  ce  que  nous  avons  à dire  sur  cette  mé- 
thode par  la  résolution  de  l’équation  fort  générale 
AxxxPyfZ{. . . . + . . . + A%xfyfz{. . . . 
+ . ..+Jnxr/yn<iznr....=  o,  (6) 
Ax,  Aï,  Az.  . . . An  étant  des  coëfficients  donnés,  en 
partie  positifs  et  en  partie  négatifs,  dont  le  nombre  est 
égal  à n,  et  p,  cf,  r des  exposants  également  connus, 
et  qui  n’ont  point  de  facteur  commun. 
Pour  résoudre  cette  équation,  nous  commencerons  par 
former  l’identité  auxiliaire 
Alal-\-A1a2-\-A3a3-{- ....  -\-Anan  — 0. 
qui  admet  une  infinité  de  solutions;  ainsi,  on  trouvera 
sans  aucune  difficulté  un  système  de  valeurs  pour  a, , 
a2,  a3....  an.  De  plus,  on  résoudra,  en  nombres  en- 
tiers, l’équation 
pct±qß—?y^Z- . ■ • — 1, 
qui  admettra  également  un  nombre  indéfini  de  solutions. 
De  cette  manière  ou  aura 
Aap«±tf±n±.  • :+^aP«±HP±r1± .... 
+jna,r±‘if±r,±---= 0. 
Quand  on  sera  parvenu  à cette  équation,  il  ny  aura 
plus  qu’à  faire  passer  au  dénominateur  toutes  les  puis- 
sances négatives,  et  faire  disparaitre  ensuite  tous  ces 
dénominateurs.  L’équation  résultante  aura  précisément 
la  forme  (6). 
Ainsi,  par  exemple,  si  l’équation  donnée  était 
+ A3x/r  = 0, 
