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Bulletin  physic o- mathématique 
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on  aurait,  en  faisant 
pa  — (jß  + ry  = 1, 
l’identité  suivante  : 
Jlara-1ß+n+^a/a-1ß+r’+J,ap-'lß+r7=  0, 
qui,  multiplied  par  a^ß.a^ß.a^ß,  prendra  la  forme 
+i>(c17(«M?W)=« 
On  aura  donc 
xi  =«ia»  fi  = a2ßa3ß,  zl==ai7 
et  ainsi  de  suite  pour  les  autres  inconnues  x2,  y2,  z2, 
xi ■>  T 3 1 Z3 
Si,  dans  les  équations  que  nous  venons  de  résoudre, 
on  se  proposait  encore  la  condition  que  les  indétermi- 
ne'es  soient  premieres  entr’elles,  la  méthode  qui  vient 
d’être  exposée  serait  insuffisante  5 il  est  même  à présumer 
que  beaucoup  d’équations,  sous  la  condition  énoncée, 
cesseraient  d’être  possibles. 
3)  Passons  actuellement  à la  démonstration  d’un  théo- 
rème assez  curieux  sur  une  loi  de  réciprocité  qui  existe 
entre  deux  progressions  arithmétiques , formées  d’une 
certaine  manière.  La  proposition  dont  nous  parlons 
pourra  servir,  comme  nous  le  ferons  voir,  à distinguer 
les  nombres  carrés  de  ceux  qui  ne  le  sont  pas,  sans 
recourir  à l’extraction  directe  de  la  racine. 
THEOREME.  Soit  p un  nombre  premier  de  la  forme 
4/c  -j-  3,  et  a un  entier  quelconque,  premier  à p.  Si 
l’on  forme  les  deux  progressions  arithmétiques 
u,  a-\-p,  a-\-2p,  a-j-3p, a-\-mp,..  ..  (1) 
— a, — a -f -p, — a-\-2p, — a-f  — «-f-  np,. . . . (2) 
il  n’y  aura  qu’une  seule  d’entr’elles  qui  pourra  contenir 
des  nombres  carrés.  Ainsi,  si  c’est  la  progression  (1) 
qui  renferme  des  carrés,  la  progression  (2)  n’en  contien- 
dra pas , et  vice  versa. 
DÉMONSTRATION.  Supposons,  contrairement  au 
théorème,  cpie  l’on  ait  à la  fois 
a -j-  mp  — a2  et  — a -f-  tip  = v2  ; 
en  élevant  les  deux  membres  de  chacune  de  ces  équa- 
tions à la  puissance  impaire  — — - — 2A  — f—  1 , on  trouvera 
A 
P 1 p— i p — 1 p — 1 
(a-\-mp)  2 —U  et  ( — a-\-np)  2 = v 
Or,  en  vertu  du  théorème  de  Fermat , on  a 
p— 1_  P 1 
u — -f- 1 (mod.  p),  v — +1  (mod.  p)-: 
donc  aussi 
p — 1 P — 1 _ 
( a-\-mp ) 2 — -f-  1 (mod. p), ou  bien  a 2 — ■ -f-l(mod.p) 
(— a-\-np)  2 — 1 (mod.p)  oubien — a 2 — -j-l(mod.p). 
Mais  comme  les  deux  congruences 
p-i  p—1. 
a 2 — -l-l(mod.p)  et  — a 2 — -fi(mod.p) 
sont  évidemment  incompatibles  entr’elles,  il  en  faudra 
conclure  l’exactitude  du  théorème  qui  vient  d’être  énoncé. 
Si  l’on  convient  de  ne  prendre  pour  a que  des  nom- 
bres impairs,  le  théorème  subsistera  non  seulement  pour 
des  nombres  premiers  de  la  forme  A/c  — |—  3 , mais  encore 
pour  le  nombre  composé  N—2p,  p étant,  comme  plus 
haut,  un  nombre  premier  de  la  forme  4Ä  — j—  3.  Avec 
ces  conditions,  il  n’y  aura  qu’une  seule  des  progressions 
n,  a-\- N,  a + 2iV,  a-j-3iY,....  a-j-roiV, 
— a,  — a -j-  N,  — a-\-2JY,  — a-\-  3iY, ....  — a- f-  nJY, 
qui  pourra  contenir  des  nombres  carrés.  Nous  omet- 
tons la  démonstration  de  cette  proposition,  parce  qu’elle 
ne  diffère  presquen  rien  de  celle  qui  vient  d’être 
donnée. 
Il  a été  dit  au  commencement  de  cet  article  que  la 
proposition  qui  vient  d’être  démontrée  peut  être  em- 
ployée, avec  plus  ou  moins  de  succès,  à la  distinction 
des  nombres  carx’és.  En  voici  un  exemple.  Soit  proposé 
de  décider  si  le  nombre  4625  est  un  carré  ou  non. 
Prenons  pour  p un  nombre  premier  de  la  forme  4/r-j-3, 
de  médiocre  grandeur,  par  exemple  p = 31  = 4.7  -}-3. 
En  divisant  4625  par  31,  ou  aura  6 pour  reste,  et  par 
conséquent,  en  faisant  a—  6,  les  deux  progressions  (1) 
et  (2)  se  réduiront  à 
6,  37,  68,  99,. .. . 
— 6,  25.  56,  87,. . . . 
Comme  c’est  la  première  de  ces  deux  progressions 
qui  contient  le  nombre  donné  4625,  et  que  le  second 
terme  25  de  la  seconde  progression  est  un  carré,  nous 
concluons  de  suite  que  4625  n’est  pas  un  carré. 
Nous  ne  nous  arrêterons  pas  sur  la  généralisation  du 
théorème  par  rapport  aux  puissances  supérieures  à la 
seconde.  Contentons  nous  de  dire  qu’à  cet  effet  il  ny 
aura  qu’à  substituer  à la  forme  4 k -j-  3 du  nombre  pre- 
mier p une  forme  différente.  Ainsi,  par  exemple,  il 
j sera  facile  de  démontrer  que  si  p est  de  la  forme  8A-f-5 
